題名の通り、多項式に超越数を代入した値の超越性についての備忘録です。備忘録なので雑に書きますが御容赦下さい。さて、本題ですが、二つの定理(一つのよく知られた定理とそのちょっとした拡張)を紹介します。以下、単に多項式と言えば有理数係数の一変数…

今回のブログは群論のようで体論のようでどちらでもない、つまらない備忘録です。 話のネタ程度に見て頂ければ、と思います。 [定義] 群Gとその部分群Hに対し、差G\HをGのHによる差群と呼ぶ。 ※差群は単位元を持たないため群ではない。 ※勿論一般的な用語で…

今回は題名の通り指数と超越数の関係について紹介します。備忘録なので結構適当に書きます。予め御了承下さい。 §1導入と補題 §2本題(超越数の指数) §1導入と補題 この世にはゲルフォントシュナイダーの定理という定理がありまして、ステートメントは以下の…

この記事では「フィボナッチ数」とその逆数和について、ある面白い性質を紹介したいと思います。 フィボナッチ数の一般項も一から導くので「隣接三項間漸化式なんてワケワカメや…」という方も安心してください。 §1フィボナッチ数とその一般項 §2逆数和とそ…

今回は最近うだうだと考えていたことを吐き出したいと思います。吐き溜めかつ備忘録なので適当に書きます。予め御了承下さい。 ネイピア数が階乗の逆数和で表されるというのはご存知でしょうか。母関数()を考えて微分方程式を解けば一発KOですね。で、階乗の…

《この記事はアドベントカレンダー「反例」(→https://adventar.org/calendars/3732 )の16日目の記事です》 アドカレ「反例」ということで、超越数論に関する反例をどしどし紹介していきます、ぶな。 反例を挙げていく前に、少し準備をしておきます。[補題1] …

《この記事はアドベントカレンダー「好きな証明」の9日目の記事です https://adventar.org/calendars/3655》 私の専門は超越数論なのですが、今回紹介する証明は、超越数論の入口、無理数論のものになります。 無理数論は名前の通り、無理数をいじる分野です…

今回は前回に引き続きチャンパーノウン定数を扱っていきます。 前回は無理性を示しましたが、今回は超越性を示します。 チャンパーノウン定数やその無理性についてはこちら(前回の記事)を↓https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2018/10/07/150035 超越数の定…

今回は チャンパーノウン定数と呼ばれる数、0.123456789101112...の無理性と超越性を前編と後編に分けて紹介していきます。 前編となるこの記事では無理性を紹介します。 チャンパーノウン定数の起源 有理数と循環小数 無理性の証明 無理性の証明その２ チャ…

今回は、自分で超越数を作れるようになる「空隙(くうげき)級数」を紹介します。 前提知識はあまり無く、指数対数が分かれば十分です。(加えて、総和の記号を知っておくとよいでしょう) 基本概念 補題(基本不等式) 空隙級数の超越性 基本概念 超越数について…