ネイピア数を愛でよ(ネピア教狂信者の独白)

今回は理系お馴染み、”数Ⅲで出てくるよくわからないアイツ”として知られる不遇の定数、「ネイピア数」について語っていきます。
以下のように進めていきます。前提知識は高校数学程度(極限･微分･積分を使うので数III程度)です。

色々な定義
- 定義(数列による定義)

色々な定義

数学では新しい概念が出てくるとき、まず「存在」を疑います。
ネイピア数を定義しつつ、その存在を確かめることにしましょう。

定義(数列による定義)

$e_n=(1+\frac{1}{n})^n$ とし、その極限値をネイピア数eとする。

高校数学でも採用されているポピュラーな定義です。この定義で大丈夫だ、ということを言うためには「 $e_n$ がちゃんと収束すること」を示さなければなりません。これを示すために「上に有界な単調増加列は収束する」ということを公理(ルール)として採用することにします。

※単調増加: 全てのnに対して $e_{n+1}\geqq e_n$ が成り立つ。
※上に有界: Eという数があり、全てのnに対して $e_n\leqq E$ となる。

”単調増加”というのは、言わば「階段を上っていく。下ったり平らな道を歩いたりしない」ということで、また、”上に有界”というのは「天井がある」ということです。
つまり、「上に有界な単調増加列は収束する」というのは「階段を上っていき、下ることがないとすると、途中に天井があればぶつかる(しかも天井に頭を擦りながら歩くことになる)」と言い換えることができるのです。当たり前といえば当たり前ですね。
さて、証明です。

[証明]

(１)単調増加

一般化された相加･相乗平均(めんどくかったり循環論法になったりするので証明はしません。悪しからず。)を用います。
n個の $\frac{n+1}{n}$ と１個の１に対し相加・相乗平均を用いて、

f:id:zangiriontwitter:20180619041431j:plain

となります。
つまり、 $e_n$ は単調増加です。

(２)上に有界

証明を簡単にするために $e_{2n}$ について議論します。
しかし、全く同じ方法で $e_n$ についても証明できるので、nを2nとしても一般性を失わないことがわかります。

はじめに「総積(普通は総乗と言いますが)」の記法を紹介しておきます。
$\displaystyle\prod^n_{k=0}a_k=a_0・a_1・...・a_n$ です。∑(総和)とよく似ていますね。
もう一つ、「二項係数」は $\binom{p}{q}$ という風に表すことにします。

※ここからちょいちょい説明を省いていきます。所謂「行間」というヤツです。頑張って埋めてください()

これらの記法を用いて、 $\displaystyle a(n,k)=\frac{1}{k!}\!\prod^k_{m=0}(1-\frac{m}{2n}) ;a(n,0)=1$
$\displaystyle b(n,k)=\binom{2n}{n-k}\frac{1}{(2n)^n}\frac{1}{(2n)^k}$ と定義します。
このとき、「二項定理」から
$\displaystyle e_{2n} =\sum^n_{k=0}a(n,k)+\sum^n_{k=1}b(n,k)$ となることがわかります。
次に
\begin{align*}
\displaystyle \sum^n_{k=0}a(n,k) &\leqq \sum^n_{k=0}\frac{1}{k!} \\ & \leqq 1+\sum^n_{k=0}\frac{1}{2^k} \\ & \leqq 1+\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{2^k}=3
\end{align*}
より
$\displaystyle\sum^n_{k=0}a(n,k) \leqq 3$ ...☆がわかります。
さらに、k≧1とすると
$b(n,k) \leqq \frac{1}{2}a(n,k)$ となるので、☆を用いて
\begin{align*}
\displaystyle
\sum^n_{k=1}b(n,k) & \leqq \frac{1}{2}\sum^n_{k=1}a(n,k)\\ & =\frac{1}{2}(\sum^n_{k=0}a(n,k)-a(n,0)) =1
\end{align*}
となるので、
$\sum^n_{k=1}b(n,k) \leqq 1$ ...★がわかります。