指数と超越数について - 散れども切れぬ備忘録

今回は題名の通り指数と超越数の関係について紹介します。備忘録なので結構適当に書きます。予め御了承下さい。

§1導入と補題
§2本題(超越数の指数)

§1導入と補題

この世にはゲルフォントシュナイダーの定理という定理がありまして、ステートメントは以下の通りです。面倒臭いので以下GSと略記しますね。(証明はかなり面倒臭いのでしません。)

[定理](ゲルフォントシュナイダーの定理)(GS)
$a$ を0,1でない代数的数、 $b$ を有理数でない代数的数とする。
このとき $a^b$ は超越数である。

分かりにくいので、簡潔に書くために「広義無理数」という概念を導入して、ちょっと条件を強くしましょう。
この記事内では「有理数でない”複素数”」のことを「広義無理数」と呼ぶことにします(普通の「無理数」は「有理数でない”実数”」です)。普通の無理数は勿論広義無理数ですが、 $\sqrt{-1}=i$ 等の虚数(実数でない複素数)も広義無理数になります。ちなみに一般的に使われている言葉ではないので注意してくださいね。あと、「代数的数であり広義無理数でもある複素数」のことを「代数的広義無理数」と呼ぶことにします。
条件を少し強くしたGSのステートメントは以下のように書けます。

[定理](GS')
$a,b$ を代数的広義無理数とする。
このとき $a^b$ は超越数である。

例えば、 $\sqrt2$ は無理数である(つまり広義無理数でもある)ので $\sqrt2^\sqrt2$ は超越数ですし、 $i$ は虚数なので広義無理数になり、 $i^i=e^{-\frac{π}{2}}$ も超越数です。

また、自明ではありますが、次の補題(GS'の系)が成り立ちます。

[補題]
$a$ を代数的広義無理数とする。
このとき $a^a$ は超越数である。
逆に(対偶を取って)、 $a^a$ が代数的数であれば、 $a$ は代数的広義無理数ではない(有理数か超越数である)。

この補題を使って面白い定理を示しましょう。

§2本題(超越数の指数)

ある数 $t$ があって $t^t=2$ だったとします。補題より $t$ は有理数でなければ超越数となります。つまり、「超越数の超越数乗は超越数である」の反例が作れるわけです。ということで、条件を満たす $t$ が有理数でないことを示しましょう。

[命題]
$t^t=2$ を満たす $t$ は有理数でない。
(したがって補題から超越数である。)

[証明]
六個のステップに分けます。
また、以下 $n,m$ は正整数とします。

(i) $t=n$ とします。
$t^t=n^n=2$ となりますが、
$1^1=1,2^2=4,3^3=27,...$ なので条件を満たす $n$ は存在しません。よって $t$ は正整数ではありません。

(ii) $t=-n$ とします。
$t^t=(-n)^{-n}=±\frac{1}{n^n}=2$ となるので $t^t=\frac{1}{n^n}=2$ とします。
$n^n\geqq 1$ より $\frac{1}{n^n}\leqq 1$ なのでこれは2になり得ません。
よって $t$ は負の整数でもないので、(i)より整数ではありません。

(iii) $t=\frac{1}{n}$ とします。
$t^t=(\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{n^{\frac{1}{n}}}=2$ となるので
$\frac{1}{n}=2^n$ となりますが、 $\frac{1}{n}\leqq 1$ より不適です。
よって $t$ の分子は1ではありません。

(iv) $t=\frac{-1}{n}$ とします。
$t^t=(-\frac{1}{n})^{-\frac{1}{n}}=±n^{\frac{1}{n}}=2$ となるので
$n^{\frac{1}{n}}=2$ とします。
$n=2^n$ となりますが、
$1≠2^1,2≠2^2,...$ なので条件を満たす $n$ は存在しません。
よって $t$ の分子は-1でもありません。

(v) $t=\frac{n}{m}$ とします。
$\frac{n}{m}$ は既約分数であるとしましょう。このとき $(n,m)=1$ (nとmの最大公約数は1)(nとmは互いに素)です。
さて、 $t^t=(\frac{n}{m})^{\frac{n}{m}}=2$ となるので
$\frac{n}{m}=2^{\frac{m}{n}}$ となります。つまり $2^{\frac{m}{n}}$ は有理数になります。したがって $\frac{m}{n}$ は整数になるので $(n,m)=1$ より $n=1$ となります。
しかし、このとき $t=\frac{1}{m}$ となってしまい(iii)よりこれは不適です。
よって $t$ は正の有理数ではありません。

(vi) $t=\frac{-n}{m}$ とします。
$t^t=(-\frac{n}{m})^{-\frac{n}{m}}=±(\frac{m}{n})^\frac{n}{m}=2$ となるので
$(\frac{m}{n})^{\frac{n}{m}}=2$ とします。(v)と同様にすると $n=1$ となりますが、これは(iv)に反し、不適です。
よって $t$ は負の有理数ではありません。

以上より $t$ は有理数ではありません。□

今間接的に「超越数の超越数乗が代数的数になる」例が存在することを証明しましたが、実は「超越数の超越数乗は常に代数的数になる」わけではないんですね。
実際、 $e^π=(i^i)^{-2}=i^{-2i}$ となり $iも-2iも$ 代数的広義無理数なので $e^π$ は超越数になります。これも超越数のクソたる所以ですね…。