超越数と体に関する備忘録

今回のブログは群論のようで体論のようでどちらでもない、つまらない備忘録です。
話のネタ程度に見て頂ければ、と思います。

[定義]
群Gとその部分群Hに対し、差G\HをGのHによる差群と呼ぶ。
※差群は単位元を持たないため群ではない。
※勿論一般的な用語ではない。

[補題]
差群は もとの群の演算について閉じていない。
つまり、∃x,y∈G\H , x*y∉G\H
[証明]
x*y∈Hが言えればよい。
そのために、まずx⁻︎¹︎∈G\Hを示す。
x⁻︎¹︎∉G\Hとするとx⁻︎¹︎∈Gよりx⁻︎¹︎∈H、したがって(x⁻︎¹︎)⁻︎¹︎=x∈Hとなるが、これはx∈G\Hつまりx∉Hに反し矛盾。したがって、x⁻︎¹︎∈G\H。
y=x⁻︎¹︎とせよ。このときx*y=x*x⁻︎¹︎=e∉G\Hとなる。□

更に、h∈Hに対してh*x∈G\Hが言える。
h*x∉G\Hとするとh*x∈Gよりh*x∈Hとなり、
h⁻︎¹︎∈Hなので、h⁻︎¹︎*h*x=x∈Hとなるが、これはx∉Hに反し矛盾するからである。

[定理]
超越数同士の和･積は超越数とは限らない。
また、任意の代数的数aに対して、その和･積がaであるような超越数の組が存在する。
[証明]
補題及び先の命題に対し、G=C,H=Aとせよ(ただし、乗法群を考える際は0を除け)。"演算"を和･積にすれば定理の主張が正しいことは明らかであろう。先の命題においてh=aとすれば、定理の主張の後半も示せる。□

この定理はもっと一般に(？)体･環とその部分体･部分環について言える。
例えば、「整数でない実数同士の和が整数になることがある」「無理数同士の積が有理数になることがある」「定数でない多項式同士の和が定数になることがある」等が言える。