有限群の淡中再構成(Tannaka Reconstruction)その2

前回( https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2019/10/17/023930 )に引き続き有限群の淡中再構成を紹介していきます。今回はいくつかの補題を述べたいと思います。

補題1
補題2

補題1

[補題1]
有限群 $G$ とその元 $g∈G$ 及び $G$ の表現 $(V,φ)$ に対して
線型写像 $T^g_{(V,φ)}$ を
$∀v∈V,T^g_{(V,φ)}(v)=φ(g)(v)$ と定義する。
このとき射の族 $T^g=\{T^g_{(V,φ)}\}_{(V,φ)∈\mathrm{Rep}_G}$ は
忘却関手 $F$ のテンソル自然自己同型である。
[証明]
$T^g$ が
①自然変換 $F⇒F$ であること
②自然同型であること
③テンソル自然変換であること
を示せばよいです。
①)下の図式を考えましょう。
$F( (V,φ) )-F(f)→F( (W,ψ) )$
$T^g_{(V,φ)}↓\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ↓T^g_{(W,ψ)}$
$F( (V,φ) )-F(f)→F( (W,ψ) )$
この図式が可換になればよいです。
つまり、任意の $v∈V$ に対し
$T^g_{(W,ψ)}(f(v))=f(T^g_{(V,φ)}(v))$ となればよいです。
実際、
$(左辺)=ψ(g)(f(v) )$
$(右辺)=f(φ(g)(v) )$ であり、
$f$ は表現の射なのでこの二つは等しいです。
よって、 $T^g$ は自然変換 $F⇒F$ です。
②) $T^{g^{-1}}_{(V,φ)}$ を考えましょう。
$T^g_{(V,φ)}T^{g^{-1}}_{(V,φ)}(v)$
$=φ(g)φ(g^{-1})(v)$
$=φ(e)(v)$
$=v$ であり、
これが任意の $v∈V$ に対して成り立つので、
$T^g_{(V,φ)}T^{g^{-1}}_{(V,φ)}=id_V$ であり、
同様に $T^{g^{-1}}_{(V,φ)}T^g_{(V,φ)}=id_V$ もわかります。
以上より、各 $(V,φ)$ に対して $T^g_{(V,φ)}$ は同型なので、それらをコンポーネントとする自然変換 $T^g$ は自然同型です。
③) $x∈V⊗︎W$ を考えましょう。
$x=\sum_{i,j}v_i⊗︎w_j$ と表せます。
このとき
$T^g_{(V,φ)⊗︎(W,ψ)}(x)$
$=T^g_{(V,φ)⊗︎(W,ψ)}(\sum_{i,j}v_i⊗︎w_j)$
$=T^g_{(V⊗︎W,φ⊗︎ψ)}(\sum_{i,j}v_i⊗︎w_j)$
$=(φ⊗︎ψ)(g)(\sum_{i,j}v_i⊗︎w_j)$
$=\sum_{i,j}(φ(g)(v_i) )⊗︎(ψ(g)(w_j) )$
$=\sum_{i,j}(T^g_{(V,φ)}(v_i) )⊗︎(T^g_{(W,ψ)}(w_j) )$
$=(T^g_{(V,φ)}⊗︎T^g_{(W,ψ)})(\sum_{i,j}v_i⊗︎w_j)$
$=(T^g_{(V,φ)}⊗︎T^g_{(W,ψ)})(x)$ となります。
これが任意の $x∈V⊗︎W$ について成り立つので、
$T^g_{(V,φ)⊗︎(W,ψ)}=T^g_{(V,φ)}⊗︎T^g_{(W,ψ)}$ となります。
つまり $T^g$ はテンソル自然変換です。■

補題2

[補題2]
写像 $\mathcal{i}:G→\mathrm{Aut}^⊗︎(F)$ を
$\mathcal{i}(g)=T^g$ と定義する。
このとき $\mathcal{i}$ は単射群準同型である。
[証明]
①群準同型であること
②単射であること
を示します。
①)任意の表現 $(V,φ)$ と $v∈V,g,g'∈G$ に対して
$T^{gg'}_{(V,φ)}(v)$
$=φ(gg')(v)$
$=φ(g)φ(g')(v)$
$=T^g_{(V,φ)}T^{g'}_{(V,φ)}(v)$
が成り立つので、
$\mathcal{i}(gg')=\mathcal{i}(g)\mathcal{i}(g')$ となります。
つまり $\mathcal{i}$ は群準同型です。
②)群準同型であることを示したので核が $\{e\}$ (自明群)であることを示しましょう。
$T^g=Id_F⇒g=e$ を示せばよいので、 $g≠e⇒T^g≠Id_F$ を示します。
ところで、 $Id_F$ とは自然変換 $F⇒F$ であり
任意の表現 $(V,φ)$ に対して $Id_{F_{(V,φ)}}=id_{F( (V,φ) )}=id_V$ が成り立つものでした。
故に、或る表現 $(V,φ)$ が在って $T^g_{(V,φ)}≠id_V$ となるものが取れればよいです。
実際 $V=ℂG,φ=ℓ$ (正則表現)とすれば $g≠e$ である限り $T^g_{(ℂG,ℓ)}≠id_V$ となり条件を満たします。
以上より $\mathcal{i}$ は単射です。■