淡中再構成(一点圏と前層圏) - 散れども切れぬ備忘録

以前『淡中双対(モノイド作用)』(https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2020/03/19/152756)という記事を書きました。これはもう題名の通りで、モノイドとその作用付集合の間には淡中双対と呼ばれる双対の関係がある、という内容でした。
今回もこれと全く同じ話を全く同じ構成で書きますが、少しアプローチを変えます。このアプローチは抽象的な手法(平たく言えば、元を取らない証明)に頼っているので、圏論の他の分野においても有用な視点をもたらすことでしょう。

まえがき(前提知識・注意)
Preliminaries
Lemma
Main Theorem

まえがき(前提知識・注意)

前提知識 : 前提知識は大体『ベーシック圏論』の4章までです。米田の補題が既知とされています。

注意 : 一部、共変と反変を(区別するべきなのに)区別していない箇所があります。これはわかりやすくするためであり、また本質的には支障が無いためです。間違いに気付かれた場合は適宜脳内で修正しながら読んでいただけると有難いです。

Preliminaries

モノイド

モノイドとは集合 $M$ と演算 $・\colon M×M→M$ の組であって以下を満たすものです:
①任意の $a,b,c∈M$ に対して $(a・b)・c=a・(b・c)$
② $e∈M$ があって、任意の $a∈M$ に対して $e・a=a=a・e$

ここで、一点圏*1 $\bar{M}$ (対象を＊とします)を考えましょう。
$\bar{M}$ の唯一のHom集合 $Hom_{\bar{M} }(＊,＊)=End_{\bar{M} }(＊)$ と合成による演算∘の組はこの２つを満たします( $e=id_＊$ とすればよいです)。よって、一点圏(のHom集合)からモノイドが得られます。逆に、全てのモノイドは一点圏のHom集合として表せるので、モノイド $M$ と $Hom_{\bar{M} }(＊,＊)$ を同一視することができます。また、 $Hom_{\bar{M} }(＊,＊)$ は $\bar{M}$ のみに依って定まるので、 $Hom_{\bar{M} }(＊,＊)$ と $\bar{M}$ も同一視できます。
この意味において、モノイド $M$ と一点圏 $\bar{M}$ は同一視できます。

モノイド作用付集合

モノイド $M$ に対して、集合 $F_*$ (と作用と呼ばれる演算 $M×F_*→F_* \colon (a,x)↦a·x$ の組)がM-作用付集合(または単にM-集合)であるとは、以下の２つを満たすことをいいます:
① $(ab)·x=a·(b·x)$
② $e·x=x$

ここで、関手 $F\colon M→Set$ の像 $F(＊)$ を考えてみましょう。
$a∈M=Hom_M(＊,＊),x∈F(＊)$ に対して、
$a·x=Fa(x)$ と定義すると、(関手は合成と恒等射を保つので)これは①,②を満たします。
よって、M-集合 $F_*$ と $F(＊)$ は同一視できます。また、 $F(＊)$ は $F$ のみに依って定まるので、 $F(＊)$ と $F$ も同一視できます。
この意味において、M-集合と関手 $M→Set$ は同一視できます。

前層圏と米田の補題

圏 $C$ に対し、関手圏 $\hat{C}=[C,Set]$ を $C$ の前層圏と呼びます。
一点圏 $M$ の前層圏 $\hat{M}$ の対象は既に見た通りM-集合ですが、射はどうなっているか見てみましょう。
M-集合 $F_*,G_*$ と写像 $f\colon F_*→G_*$ に対して、 $f$ が $f(a·x)=a·f(x)$ を満たす(作用を保つ)とき、 $f$ をM-集合準同型と呼びます。

M-集合は関手だったので、その間の自然変換を考えてみましょう。
$F,G\colon M→Set$ を関手、 $θ\colon F⇒G$ を自然変換とすると、 $θ$ の唯一の成分 $θ_＊\colon Ｆ(＊)→G(＊)$ は任意の射 $a∈Hom_M(＊,＊)=M$ に対して $θ_＊∘Fa=Ga∘θ_＊$ を満たします。
$Fa(x)=a·x$ に気をつけると、
これは $θ_＊(a·x)=a·θ_＊(x)$ と書け、M-集合準同型に他なりません。
また、逆にM-集合準同型から自然変換を得ることもできるので、結局自然変換 $θ∈Hom_{[M,Set]}(F,G)$ とM-集合準同型 $f\colon F^*→G^*$ は同一視できます。
さらに、このことからM-集合の圏と前層圏 $[M,Set]$ も同一視できます。

さて、後に使うことになる米田の補題とその系を復習しておきます。

[米田の補題]
圏 $C$ ,関手 $F\colon C→Set$ とHom関手 $Hom_C(a,-)=よ_a\colon C→Set$ に対して、以下の同型が成り立つ:
$Hom_{[C,Set]}(よ_a,F)≅F(a)$

この定理において $F=よ_b$ とすると、以下が成り立ちます:
[米田の補題の系]
$Hom_{[C,Set]}(よ_a,よ_b)≅Hom_C(b,a)$ が成り立つ。
また、この同型は対応 $よ_f↤f$ によって与えられる。

証明はここでは行いません。

また、一点圏上のHom関手について考えてみると、以下のようなことがわかります:
一点圏上のHom関手 $よ_＊∈[M,Set]$ はM-集合であり、特に $よ_＊(＊)=Hom_M(＊,＊)=M$ なのでこれは正則加群 *2に他なりません。

Lemma

淡中双対を示す前に、その証明で重要になる以下の補題を示しておきます:
[補題]
忘却関手 $ω\colon M-Set=[M,Set]→Set$ は表現可能であり、特にその表現対象は正則加群である。
[証明]
米田の補題から $Hom_{[M,Set]}(よ_＊,F)≅F(＊)$ であり、
$F(＊)$ はM-集合(を関手とみなしたもの)の像、つまりその台集合なので、 $Hom_{[M,Set]}(よ_＊,-)$ は忘却関手そのものです。 ■

このことから
$ω=Hom_{[M,Set]}(よ_＊,-)=よ_{ (よ_＊) }$ と表せることもわかります。

Main Theorem

$End(ω)=Hom_{[ [M,Set],Set]}(ω,ω)$ を考えてみると、次の定理(モノイド作用の淡中双対)が成り立ちます:
[定理]
$End(ω)$ と $M=Hom_M(＊,＊)$ はモノイドとして同型である。
[証明]
まず、集合として同型であることを示します。
米田の補題の系から
$End(ω)=Hom_{[ [M,Set],Set]}(よ_{ (よ_＊) },よ_{ (よ_＊) }$
$≅Hom_{[M,Set]}(よ_＊,よ_＊)$
$≅Hom_M(＊,＊)=M$ となります。
よって、 $End(ω)≅_{Set}M$ です。
乗法についても
$a∈M$ を $よ_{ (よ_a) }$ に、 $ab$ を $よ_{ (よ_{ab}) }$ に対応させればモノイドとして同型になることがわかります。 ■