淡中再構成(モナドと作用付集合) - 散れども切れぬ備忘録

【この記事はアドヴェントカレンダー Math https://adventar.org/calendars/5029 の6日目の記事です】

今回は、以前書いた『淡中再構成(モノイド作用)』を一般化して、モナドとその加群 *1についての淡中再構成を証明します。
前提知識は以前と同様に圏論の初歩、『ベーシック圏論』程度です。

モナドと加群
淡中の補題
淡中再構成

モナドと加群

集合の成す圏を $Set$ と表します。
$Set$ から $Set$ への関手 $T$ が
自然変換 $μ\colon TT⇒T,η\colon Id_{Set}⇒T$ を持ち、これらが任意の集合 $X$ に対して
① $μ_X(μ_{TX})=μ_X(Tμ_X)$
② $μ_X(η_{TX})=id_{TX}=μ_X(Tη_X)$
を満たすとき、組 $(T,μ,η)$ または単に $T$ を( $Set$ 上の)モナドと呼びます。
本来モナドは任意の圏の上で考えることができますが、ここでは簡単のため $Set$ に限ります。

例) $M$ を集合とします。
関手 $M×?\colon Set→Set\colon X\mapsto M×X$ は $M$ がモノイド(単位的半群)であるとき、またそのときに限りモナドになります。
これを(左)テンソル作用関手(モナド)と呼びます。

$M$ がモノイドであるとき、その上の加群(作用付き集合,M-集合)を考えることができますが、モナドに対しても殆ど同様に加群を考えることができます:
モナド $T$ に対して、集合 $X$ と写像(構造射とも呼びます) $ρ_X\colon TX→X$ の組 $(X,ρ_X)$ が次の条件を満たすとき、これをT-加群と呼びます:
① $ρ_X(μ_X)=ρ_X(Tρ_X)$
② $ρ_X(η_X)=id_X$

T-加群 $(X,ρ_X),(Y,ρ_Y)$ に対して、写像 $f\colon X→Y$ が $ρ_Y(Tf)=f(ρ_X)$ を満たすとき、 $f$ はT-線型であるといいます。

例)モノイド $M$ に対して、
$M×?$ -加群はM-集合に他なりません。
また、 $M×?$ -線型写像とはM-写像(M-準同型)のことです。

T-加群を対象、T-線型写像を射とする圏を得ることができます。これを $T-Mod$ , $T-Set$ と表します。

淡中の補題

随伴からモナドを得ることができます*2が、逆にモナドを随伴に分解することができます。

モナド上の加群については自然に忘却関手が定まります : $U_T( (X,ρ_X) )=X$ とすると、これは関手 $U_T\colon T-Set→Set$ を定めます。
忘却関手の左随伴(つまり自由関手)として $F_T\colon Set→T-Set$ も構成できます : $F_T(X)=(TX,μ_X)$ とすればよいです。
( $F_T(X)$ を自由加群と呼ぶことがあります。特に、 $F_T(1)$ は正則加群と呼ばれます。)

また、これらは $U_TF_T=T$ を満たします。
この2つの関手は実際に随伴になります。*3

以上のことから
①モナド $T$ に対し、2つの関手 $F_T,U_T$ が定まり、 $T=U_TF_T$ を満たす。
② $F_T$ と $U_T$ は随伴である。すなわち、
$Hom_{T-Set}(F_T(X),(Y,ρ_Y) )≅Hom_{Set}(X,U_T( (Y,ρ_Y) ) )$ が成り立つ。
ということがわかりました。
このことから以下の補題を導けます:

[淡中の補題]
任意のT-加群 $(X,ρ_X)$ に対して
$Hom_{T-Set}( (T1,μ_1),(X,ρ_X) )≅Hom_{Set}(1,X)$ が成り立ちます。
[証明]
先の②の式について $X=1$ とすればよいです。■

また、集合の圏においては
$Hom_{Set}(1,X)≅X$ が成り立つので、以下の補題をも導くことができます:

[淡中の補題 ver.2]
$Hom_{T-Set}( (T1,μ_1),(X,ρ_X) )≅X$ が成り立ちます。
特に $U_T≅Hom_{T-Set}( (T1,μ_1),?)$ が成り立ちます。
(この関手を以後簡単の為簡単のため $よ_{T1}$ と表します。)

淡中再構成

淡中の補題と米田の補題から以下の定理を導くことができます:

[モナドに対する淡中再構成定理]
集合としての同型 $End(U_T)≅T1$ が成り立ちます。
[証明]
$End(U_T)=Hom_{[T-Set,Set]}(U_T,U_T)$ (定義)
$≅Hom_{[T-Set,Set]}(よ_{T1},よ_{T1})$ (淡中の補題)
$≅Hom_{T-Set}( (T1μ_1),(T1μ_1) )$ (米田の補題)
$=よ_{T1}( (T1,μ_1) )$ (米田埋込の定義)
$≅U_T( (T1,μ_1) )$ (淡中の補題)
$=T1$ (忘却関手の定義)
■