メモ6(中心のモノイド性) - 散れども切れぬ備忘録

2月半ばに考えて2.20に解決した問題のメモ・解説です。
問題は「モノイダル圏のモノイド対象の中心はまたモノイド対象となるか？なるなら可換なのか？」です。
ネタバレしておくと、肯定的に解決できました。

以下 $V$ を(完備な)モノイダル圏とし、 $A$ をそのモノイド対象とする。

$Z∈V$ が以下を満たすとき、これを $A$ の中心と呼び $Z(A)$ と表すのであった。*1:
① $V$ の射 $i\colon Z→A$ がある。
② $i$ は任意の $a∈A,z∈Z$ に対して $a*i(z)=i(z)*a$ を満たす。*2
③ $X∈V$ と射 $f\colon X→A$ があり、これらが②を満たすとき、射 $φ\colon X→Z$ が一意に存在して $iφ=f$ を満たす。

また、この中心 $Z(A)$ は $Z(A)=∫_{*∈\mathbb{B}A}Hom_{\mathbb{B}A}(*,*)$ としても構成できるのであった。
ここに $\mathbb{B}A$ とは $A$ のdeloopingと呼ばれる $V$ -豊穣圏であり、
・対象は1つのみ(であり $*$ と表される)
・射集合は $A$ であり、射の合成はモノイドの乗法で定める
と定義される。

さらに「中心」は $V$ が完備ならいつでも存在するのだから、結局「完備モノイダル圏 $V$ のモノイド対象 $A$ に対してその中心 $Z(A)$ が存在してこれは $V$ の対象であり $∫_{*\in \mathbb{B}A}\mathbb{B}A(*,*)$ として構成される」ということが言える。

ここまではメモ2の復習であるが、ここからメモ3の内容を混じえることで主題の結果を得る。

メモ3*3に拠れば、
$V$ -豊穣圏 $C$ の対象 $X$ に対して
$End_C(X)$ は $V$ のモノイド対象になるのであった。
ここで、 $End_{[\mathbb{B}A,\mathbb{B}A]}(Id_{\mathbb{B}A})$ を考えると、
これは $∫_{*\in \mathbb{B}A}\mathbb{B}A(*,*)$ となり、
結局 $Z(A)$ に一致し、また $V$ のモノイド対象でなることもわかる。
また、中心の可換性から中心は可換モノイド対象になることもわかる。