メモ5(単位元の普遍性) - 散れども切れぬ備忘録

メモです。
2020年の年末くらいに考えていた「淡中の補題の単位元の普遍性を用いた別証明」の解説です。

[定理](米田の補題)
$C$ を局所小圏、 $F\colon C→Set$ を関手、 $a∈C$ を対象とせよ。
このとき、集合としての同型
$Hom_{[C,Set] }(Hom_C(a,-),F)≅F(a)$ がある。

[略証]
この同型は $θ\mapsto θ_a(id_a)$ によって与えられ、
これの逆は $x\mapsto Ψ^x$ によって与えられる。
ただし、 $f\colon a→b$ に対して $Ψ^x_b(f)=Ff(x)$ とする。

[補題](表現対象の普遍性)
関手 $F\colon C→Set$ が $A∈C$ で表現可能
( $F≅Hom_C(A,-)$ )
⇔
$F(A)$ の元 $u$ があって、
任意の $X∈C,x∈F(X)$ に対して
$(Fx')(u)=x$ となる $x'\colon A→X$ が一意的に存在する。(☆)

[証明]
米田の補題より、 $u∈F(A)$ を取って
$Ψ^u$ が同型⇔(☆)
を示せばよい。

$Ψ^u$ は自然変換 $Hom_C,(A,-)⇒F$ であった。
故に、
$Ψ^u$ が同型
⇔ $Ψ^u$ の全ての成分が同型
⇔任意の対象 $X∈C$ に対して $Ψ^u_X$ が同型
となる。
$Ψ^u_X\colon Hom_C(A,X)→F(X)$ だから、
これが同型であること
⇔ $Ψ^u_X$ が一対一対応を与える
⇔各 $x∈F(X)$ に対して $x'\colon A→X$ が定まり、 $Ψ^u_X(x')=x$ となる
となる。
$Ψ^u_X(x')=(Fx')(u)$ なので、これは(☆)と同値である。 ■

さて、モノイド $M$ に対する淡中の補題とは以下の主張であった :
[定理](モノイド作用付集合の淡中の補題)
忘却関手 $F\colon M-Set→Set$ は正則加群 $M$ で表現可能である。

これは先の補題を用いれば次のように言い換えられる :
[命題]
(集合としての) $M$ の元 $u∈M$ があり、
任意の $M$ -集合 $X$ と(集合としての) $X$ の元 $x∈X$ に対して
$(Fx')(u)=x$ となる $M$ -準同型 $x'\colon M→X$ が存在する。(☆)

これはより簡潔に書けば
[命題]
$M$ をモノイドとする。
このとき、任意の $M$ -集合 $X$ のその元 $x∈X$ に対して
$x'(u)=x$ となる $M$ -準同型 $x'\colon M→X$ が存在する。
となる。
これは実際に成り立ち、 $u$ を $M$ の単位元とし、 $x'=ρ(-,x)$ とすればよい。
このとき $x'$ が $M$ -準同型であることと一意的であることは自明であるものとする。

また、この事実は以下のようにも表現(expression)できるだろう :

モノイド $M$ の単位元 $u$ (或いは単位元を取る射 $u\colon 1→M$ )は次の意味で普遍的である:
どんな $M$ -加群 $X$ とその元 $x$ (或いは元として $x$ を取る射 $x\colon 1→X$ )に対しても、射 $φ\colon M→X$ が一意的に存在し、 $φu=x$ を満たす。
なお、この $φ$ は $ρ_X(-,x)$ で与えられる。

これはモノイドの単位元が或る意味で"普遍的"である(普遍性を持つ)ことを言っていると考えられる。

つまり、淡中の補題とは、見方を変えれば"単位元の普遍性"から従う定理であったのだと言えよう。