メモ4(カルテシアン圏と双対対象) - 散れども切れぬ備忘録

メモです。
2021.02初旬に考察した「剛モノイダルなカルテシアン圏はどのようなものが存在するか」という問に対する答えです。

$C$ をカルテシアンモノイダル圏*1とし、さらに剛モノイダル圏であるとする。
対象 $A∈C$ の双対対象を $A^*$ と表すことにする。

よく知られた定理*2「剛ならば閉」から、 $-×A^*$ と $Hom(A,-)$ は(自然同型を除いて)一致する。
したがって、特に $1×A^*≅A^*≅Hom(A,1)≅1$ が成り立つ。
つまり、どんな対象もその双対対象は終対象である。

さて、 $A∈C$ の評価射 $e_A\colon A^*×A→1$ と余評価射 $c_A\colon 1→A×A^*$ を考える。
評価射は射 $A→1$ と同じであり、これは $1$ が終対象であることから生える唯一の射である。
余評価射は射 $1→A$ と同じであり、これは同型 $Hom(1,A)≅A$ *3を通じて $A$ の"元"と対応する。

これらを念頭に置いた上で三角等式を見てみよう。
三角等式は
① $(id_A×e_A)(c_A×id_A)=id_A$
② $(e_A×id_{A^*})(id_{A^*}×c_A)=id_{A^*}$
である。

ここに元 $a∈A$ を代入して①がどのような条件であるのか確かめたいところだが、一般の圏の対象には元があるとは限らないので、元 $a∈A$ の代わりに射 $a\colon 1→A$ を取り、これを"元"と看做すこととし、これを①に合成する。
②については射をそのまま取れるから、それを代入することにする。

すなわち、 $a\colon 1→A,f\colon A→1$ として
①' $(id_A×e_A)(c_A×id_A)(id_1×a)=id_A(a)$
②' $(e_A×id_{A^*})(id_{A^*}×c_A)(f×id_1)=id_{A^*}(f)$
を考察する。

①'は $(f×g)(f'×g')=(ff')×(gg')$ を用いれば
$c_A×e_A(a)=a$ と書ける。
$e_A$ は唯一の射であったから無視すると、
これは「任意の対象 $A∈C$ に対して"元" $c∈A$ が存在して、任意の元 $a∈A$ に対して $c=a$ である」と言っていることになる。
つまり $A=\{c \}=1$ ということを言っている。
②'も同様に
$e_A(f)×c_A=f$ と書ける。
これについては要するに $A^*=1$ ということを言っており、これは既に見た通りである。
$A=1$ なのだから、これは $A^*=Hom(A,1)≅Hom(1,1)≅1=\{id_1\}$ ということを言っている。