メモ7(群環の上の加群と群の表現の対応)

3/8に考えたことのメモです。

以前書いた『淡中再構成(環上の加群)』という記事*1において、「何故群環/多元環/リー環の表現はその上の加群を考えるのか」という問いを掲げ、その答えとして「環上の加群の淡中双対があるから」を提示しました。
しかし、「群の表現と群環の上の加群、或いはリー環の表現と普遍包絡環の上の加群は何故対応するのか」という点については説明できていませんでした。今回の記事ではこれを説明します。

$V$ をモノイダル閉圏とし、その上のモノイド対象の成す圏を $MonV$ とする。
また、 $C$ を圏とし、 $X$ をその対象とする。

[補題]
モノイダル閉圏 $V$ の対象 $A,M$ を取り、特に $A$ をモノイド対象とする。
このとき、次の2つは同値である:
(1) 射 $ρ\colon A⊗M→M$ があり、 $(M,ρ)$ は $A$ -加群となる。
(2) 射 $f\colon A→Hom_V(M,M)=EndM$ があり、これがモノイド準同型である。

[証明]
テンソルホム随伴( $-⊗X\dashv Hom(X,-)$ )の
単位を $ev^X\colon Hom(X,-)⊗X⇒Id_V$
余単位を $coev^X\colon Id_V⇒Hom(X,-⊗X)$ とする。
(1)⇒(2)は $f=Hom(M,ρ)\circ coev^M_A$ とし
(2)⇒(1)は $ρ=ev^M_M\circ (f⊗M)$ とすればよい。
これは噛み砕いて言えば $f(a)=ρ(a,-)$ とするのと同じである。 ■

この補題によって、加群の構造射と(適当な)モノイド準同型は等価であることがわかった。

さて、関手 $U\colon MonV→C$ があり、これが左随伴 $F\colon C→MonV$ を持つとする。

対象 $X∈C$ を取れ。
$M$ を $F(X)$ 上の加群とすると、 $M$ は構造射(に対応するモノイド準同型) $F(X)→EndM$ in $MonV$ を備える。
ここで、随伴があるから
$Hom_{MonV}(F(X),End(M) )≅Hom_C(X,U(End(M) ) )$ が成り立つので、
これは射 $X→U(End(M) )$ in $C$ に対応する。

(例1)
$C$ を群の圏 $Grp$ 、 $V$ をベクトル空間の圏 $Vect$ とせよ。 $MonV$ は多元環の圏 $Alg$ となる。
このとき、 $U\colon Alg→Grp$ は多元環の乗法群(単元群)を取る操作、 $F\colon Grp→Alg$ は群環を取る操作で与えられる。
上の議論から、群環上の加群 $F(X)⊗M→M$ と群の表現 $X→単元群(自己準同型モノイド(M) )=自己同型群(M)=GL(M)$ が対応することがわかる。

(例2)
$C$ をリー環の圏 $Lie$ 、 $V=Vect$ とせよ。
$U\colon Alg→Lie$ は多元環からリー環を標準的に作る操作、 $F\colon Lie→Alg$ は普遍包絡環を取る操作で与えられる。
上の議論から、リー環の普遍包絡環の上の加群とリー環の表現が対応することがわかる。

(例3)
$C$ を(有限)集合の圏 $Set$ 、 $V$ を(有限次元)k-ベクトル空間の圏 $Vect_k$ とせよ。
$U\colon Alg_k→Set$ は忘却、 $F\colon Set→Alg_k$ は非可換多項式環(自由多元環)を取る操作*2で与えられる。
上の議論から、多項式環 $F(X)=k [ X ]$ 上の加群と写像 $X→EndM=M_n(k)$ が対応することがわかる。