メモ8(淡中随伴)

代数学･圏論

メモです。2020年10月あたりから考え始めて、2021年5/12に解決した、淡中随伴の証明をします。まえがき反変随伴淡中随伴準備圏の構成関手の構成単位の構成余単位の構成証明まえがき淡中随伴とは、大雑把に言えば圏MonVと圏V-Cat/Vの間に関手End…

メモ7(群環の上の加群と群の表現の対応)

3/8に考えたことのメモです。以前書いた『淡中再構成(環上の加群)』という記事*1において、「何故群環/多元環/リー環の表現はその上の加群を考えるのか」という問いを掲げ、その答えとして「環上の加群の淡中双対があるから」を提示しました。しかし、「…

2月半ばに考えて2.20に解決した問題のメモ・解説です。問題は「モノイダル圏のモノイド対象の中心はまたモノイド対象となるか？なるなら可換なのか？」です。ネタバレしておくと、肯定的に解決できました。以下を(完備な)モノイダル圏とし、をそのモノイ…

メモです。 2020年の年末くらいに考えていた「淡中の補題の単位元の普遍性を用いた別証明」の解説です。 [定理](米田の補題) を局所小圏、を関手、を対象とせよ。このとき、集合としての同型がある。[略証] この同型はによって与えられ、これの逆はによ…

メモです。 2021.02初旬に考察した「剛モノイダルなカルテシアン圏はどのようなものが存在するか」という問に対する答えです。をカルテシアンモノイダル圏*1とし、さらに剛モノイダル圏であるとする。対象の双対対象をと表すことにする。よく知られた定理*…

メモです。 2021.1.27に考察した「自己準同型を集めるとモノイドになるが、これは豊穣圏でも成立するか？」という問題に対する答えをまとめておきます。をモノイダル圏、を-豊穣圏とせよ。 -豊穣圏には、 Hom集合にあたるものとして、射の合成にあたるも…

メモです。 2021.1.08に発見した「中心の普遍性」についてメモしておきます。以下を(対称閉)モノイダル圏とし、をそのモノイド対象とする。が以下を満たすとき、これをの中心と呼びと表す。: ①の射がある。 ②は任意のに対してを満たす。*1 ③と射があり、こ…

メモです。 2020.12.18にTwitterにて「米田の補題の直感的で雑なお気持ちの理解」をテーマに連続ツイートをしたので、それを一部修正しつつ、はてなブログにもまとめておきます。「圏、関手、自然変換の定義は知っていて、Hom関手が関手になることもわかっ…