メモ8(淡中随伴)

代数学･圏論

メモです。2020年10月あたりから考え始めて、2021年5/12に解決した、淡中随伴の証明をします。まえがき反変随伴淡中随伴準備圏の構成関手の構成単位の構成余単位の構成証明まえがき淡中随伴とは、大雑把に言えば圏MonVと圏V-Cat/Vの間に関手End…

2021-03-26

メモ7(群環の上の加群と群の表現の対応)

3/8に考えたことのメモです。以前書いた『淡中再構成(環上の加群)』という記事*1において、「何故群環/多元環/リー環の表現はその上の加群を考えるのか」という問いを掲げ、その答えとして「環上の加群の淡中双対があるから」を提示しました。しかし、「…

2021-02-21

メモ6(中心のモノイド性)

2月半ばに考えて2.20に解決した問題のメモ・解説です。問題は「モノイダル圏のモノイド対象の中心はまたモノイド対象となるか？なるなら可換なのか？」です。ネタバレしておくと、肯定的に解決できました。以下を(完備な)モノイダル圏とし、をそのモノイ…

2021-02-11

メモ5(単位元の普遍性)

メモです。 2020年の年末くらいに考えていた「淡中の補題の単位元の普遍性を用いた別証明」の解説です。 [定理](米田の補題) を局所小圏、を関手、を対象とせよ。このとき、集合としての同型がある。[略証] この同型はによって与えられ、これの逆はによ…

2021-02-07

メモ4(カルテシアン圏と双対対象)

メモです。 2021.02初旬に考察した「剛モノイダルなカルテシアン圏はどのようなものが存在するか」という問に対する答えです。をカルテシアンモノイダル圏*1とし、さらに剛モノイダル圏であるとする。対象の双対対象をと表すことにする。よく知られた定理*…

2021-02-01

メモ3(自己準同型モノイド)

メモです。 2021.1.27に考察した「自己準同型を集めるとモノイドになるが、これは豊穣圏でも成立するか？」という問題に対する答えをまとめておきます。をモノイダル圏、を-豊穣圏とせよ。 -豊穣圏には、 Hom集合にあたるものとして、射の合成にあたるも…

2021-01-31

メモ2(中心の普遍性)

メモです。 2021.1.08に発見した「中心の普遍性」についてメモしておきます。以下を(対称閉)モノイダル圏とし、をそのモノイド対象とする。が以下を満たすとき、これをの中心と呼びと表す。: ①の射がある。 ②は任意のに対してを満たす。*1 ③と射があり、こ…

2021-01-31

メモ1(米田の補題のきもち)

メモです。 2020.12.18にTwitterにて「米田の補題の直感的で雑なお気持ちの理解」をテーマに連続ツイートをしたので、それを一部修正しつつ、はてなブログにもまとめておきます。「圏、関手、自然変換の定義は知っていて、Hom関手が関手になることもわかっ…

2020-12-05

淡中再構成(モナドと作用付集合)

代数学･圏論

【この記事はアドヴェントカレンダー Math https://adventar.org/calendars/5029 の6日目の記事です】今回は、以前書いた『淡中再構成(モノイド作用)』を一般化して、モナドとその加群*1についての淡中再構成を証明します。前提知識は以前と同様に圏論の…

2020-09-22

淡中再構成(環上の加群)

代数学･圏論

今回は環とその上の加群の圏の淡中双対を紹介します。内容としては『淡中再構成(モノイド作用)』( https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2020/03/19/152756 )とほぼ同じですが、これを環上の加群についての議論に持ち上げます。よって、アーベル群の知識が…

2020-08-13

淡中再構成(一点圏と前層圏)

代数学･圏論

以前『淡中双対(モノイド作用)』(https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2020/03/19/152756)という記事を書きました。これはもう題名の通りで、モノイドとその作用付集合の間には淡中双対と呼ばれる双対の関係がある、という内容でした。今回もこれと全く同…

2020-07-12

圏論ゼミ『向き付き絡み目の量子不変量』

代数学･圏論

7/12に行われたオンラインゼミで量子不変量に関する発表をしてきました。その時のスライドショーを公開します。質問等あればTwitter(@zangiri_two)で言って頂ければ対応します。[前提知識] 大体『圏論の基礎』を読み通していれば大丈夫です。目安としては…

2020-07-04

米田の補題に挑む

代数学･圏論

圏論を始めたばかりの頃に米田の補題の証明を追った時のメモです。手書きなので字が汚い上、一部変な仮名遣いになってますが、解読できれば有益だろうと思いましたのでここに画像として上げておきます。 Twitter(@zangiri_two)の方に連絡して下されば字の…

2020-06-02

ベクトル空間から始める圏論入門

代数学･圏論

題名の通りです。備忘録なので多少雑に書きますが、できる限り丁寧に書きます。まえがき第一部ベクトル空間のことばアーベル群アーベル群の演算体ベクトル空間ベクトル空間の演算ベクトル空間のテンソル積第二部圏論のことば圏様々な圏･射関…

2020-05-31

Rigid monoidal category⇒Closed monoidal categoryの証明

代数学･圏論

題名の通りです。双対対象(ベクトル空間に対する双対空間のようなもの)を持つ圏をRigid monoidal category(和名:剛モノイダル圏)といい、内部Hom(ベクトル空間に対する写像空間のようなもの)を持つ圏をClosed monoidal category(和名:閉モノイダル圏)といい…

2020-03-19

淡中再構成(モノイド作用)

代数学･圏論

淡中双対の簡単な例(モノイド作用を使った例)を紹介します。※この記事では米田の補題(『ベーシック圏論』第4章までの内容)は既知とします。 Terminology モノイドの圏モノイド作用の圏前層圏と米田の補題 Lemma Main Theorem Terminology 以前『有限群の淡…

2020-02-06

フィルター空間

フィルター空間と呼ばれる「空間」に関する議論の紹介･覚え書きです。何か致命的な間違いがあれば教えて下さると助かります。フィルターとフィルター空間フィルターフィルター空間フィルター空間の性質フィルター空間の開核･閉包開集合･閉集合分離性 …

2020-01-09

九大の院試(代数学)を解いた

題名の通りです。九大の院試の過去問を代数学を中心に解いてみましたので公開します。元の問題はこちら( https://www.math.kyushu-u.ac.jp/entryexams/view/6 )から見ることができます。※間違い等ありましたらお教え下ると助かります。 2020年度専門科目 [1…

2019-11-23

カルテシアン圏上の余代数

代数学･圏論

余代数について調べていた所、「(もっと一般にカルテシアン圏)上の余代数構造は一意に定まる」という文を見つけました。「ほんまか？」と思い色々考えていたのですが、どうやら簡単に示せるようなので、備忘録も兼ねてブログにします。前提知識は圏論の初歩…

2019-10-23

有限群の淡中再構成(Tannaka Reconstruction)その3

代数学･圏論

今回も前回( https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2019/10/18/202302 )、前々回( https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2019/10/17/023930 )に続き、有限群の淡中再構成を紹介していきます。さて、いくつかの補題と主定理の証明をします。補題3 補題4 補…

2019-10-18

有限群の淡中再構成(Tannaka Reconstruction)その2

代数学･圏論

前回( https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2019/10/17/023930 )に引き続き有限群の淡中再構成を紹介していきます。今回はいくつかの補題を述べたいと思います。補題1 補題2 補題1 [補題1] 有限群とその元及びの表現に対して線型写像をと定義する。この…