メモ3(自己準同型モノイド) - 散れども切れぬ備忘録

メモです。
2021.1.27に考察した「自己準同型を集めるとモノイドになるが、これは豊穣圏でも成立するか？」という問題に対する答えをまとめておきます。

$V$ をモノイダル圏、 $C$ を $V$ -豊穣圏とせよ。
$V$ -豊穣圏 $C$ には、
Hom集合 $Hom_C(a,b)$ にあたるものとして $C(a,b)∈V$ 、
射の合成にあたるものとして $m_{abc}\colon C(b,c)⊗_VC(a,b)→C(a,c)$ 、
恒等射(を取ってくる射)にあたるものとして $j_a\colon 1_V→C(a,a)$
が定まっており、これらは結合律と単位律を満たすのであった。
このことから以下の定理がわかる :

[定理]
$V$ -豊穣圏 $C$ の対象 $X$ について、
$End_C(X)=C(X,X)$ は $V$ のモノイド対象になる。
なお、乗法は $m_{XXX}\colon C(X,X)⊗_VC(X,X)→C(X,X)$ で与えられ、
単位は $j_X\colon 1_V→C(X,X)$ で与えられる。

例1)
集合の圏 $Set$ を考えよ。
これはモノイダル閉だから自己豊穣、したがって $Set$ は $Set$ -豊穣圏である。
故に、集合 $X$ の自己写像全体 $End(X)$ を考えると、これは合成を乗法としてモノイドになる。

例2)
アーベル群の圏 $Ab$ を考えよ。
これはモノイダル閉だから、 $Ab$ は $Ab$ -豊穣圏である。
故に、アーベル群 $M$ の自己準同型環 $End(M)$ は単位的環となる。
これと全く同じことが $R$ -加群の圏に於いても言える。

例3)
$V$ を完備かつモノイダル閉であるとし、 $V$ -豊穣圏 $C,D$ を取れ。
このとき関手圏 $[C,D]$ は $V$ -豊穣圏である。
$V$ -関手 $F\colon C→D$ を取り、 $End(F)=∫_{c∈C}D(Fc,Fc)$ を考えると、これは $V$ のモノイド対象である。
特に、前層 $F\colon C→V$ に対する $End(F)$ は $V$ のモノイド対象となる。

(Remark!)
この例に於いて $V=Ab$ とすると、『淡中再構成(環上の加群)』 https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2020/09/22/234153 と内容が一致する。

例4)
$V$ を完備かつモノイダル閉とし、 $V$ -豊穣圏の成す圏 $V-Cat$ を考えよ。
このとき $V-Cat$ はモノイダル閉であり、したがって $V-Cat$ -豊穣圏となる。
$V$ -豊穣圏 $C$ に対して $End(C)$ は $V-Cat$ のモノイド対象、つまり $V$ -豊穣モノイダル圏になる。
これは $V=Set$ とすれば、「自己関手の圏はモノイダル圏になる」と言っているのと同じである。

【追記】

以上では｢自己準同型はモノイドを成す｣を示したが、この逆｢モノイドは自己準同型から与えられる｣も示すことができる。
すなわち、 $V$ をモノイダル圏とし $A∈V$ をそのモノイド対象とせよ。このとき、次のような $V$ 豊穣圏 $\mathbb{B}A$ を構成することができる*1 :
対象は唯一つであり(これを $*_A$ と書く)、射集合は $\mathbb{B}A(*_A,*_A)≅A$ によって与えられる。射の合成がモノイド対象の乗法に、恒等射(を取る射)がモノイド対象の単位に対応している。
この状況に於いて、定義から明らかにモノイド対象 $A$ は $V$ 豊穣圏 $\mathbb{B}A$ 内の自己準同型モノイドとして表されている。
つまり、｢全てのモノイド対象は自己準同型モノイドとして表される｣ということが言える。