散れども切れぬ備忘録

代数学やその他数学に関することなどをそこはかとなく書きつくる備忘録

メモ9（になるはずの下書き）

メモです。

散切が予てより予想している「モノイドの圏と加群の圏の圏は反変圏同値」という定理の前加法圏ベースの証明を与える……ブログ記事になるはずですが、完成する目処があまりにも立たないので、一旦下書きと称して途中までを公開します。
したがって、公開されたり非公開になったり…を繰り返す可能性があることに留意してください。

環と加群、およびそれらの成す圏

前加法圏とは、圏であって、そのホム集合がアーベル群であり、射の合成に対して双線形なものをいう。
これは、アーベル群の成す圏をAbと書けば、Abー豊穣圏とおなじことである。

ただ一つの対象から成る圏を一点圏と呼ぶ。
一点前加法圏を単位的環、或いは単に環と呼ぶ（ここでは環と呼ぶことにする）。
射の合成が環の乗法に、恒等射が単位元に、合成の双線形性が分配法則に対応する。

環（一点前加法圏）のホム集合がRと表されるとき、その環を\mathbb{B}Rと表し、その唯一の対象を*_R或いは単に*と表す。

C,Dを前加法圏、F\colon C\to Dを関手とする。
Fが前加法関手であるとは、Cの各対象a,b\in Cに対して、写像F_{a,b}\colon C(a,b)\to D(Fa,Fb)\colon f\mapsto Ffがアーベル群準同型であることをいう。

環と前加法関手の成す圏をRingと表す。*1
Ringの射を環準同型という。

前加法関手\mathbb{B}R\to Abを左R-加群、或いは単にRー加群と呼ぶ。
M\colon\mathbb{B}R\to AbをR‐加群とする。
このとき、M(*_R)\in AbがMの台集合に対応し、
アーベル群準同型M_{*,*}\colon \mathbb{B}R(*_R,*_R)=R\to Ab(M*_R,M*_R)が構造射R\to End(M)に対応する。

R‐加群\mathbb{B}R(*,-)\colon \mathbb{B}R\to Abを正則R‐加群或いは単に正則加群と呼ぶ。
正則加群の構造射R\to Ab(R,R)のアンカリー化R\otimes_Z R\to RはRの乗法に一致する。*2

C,Dを前加法圏とし、F,G\colon C\to Dを前加法関手とする。
前加法関手間の自然変換\theta\colon F\Rightarrow Gを前加法自然変換と呼ぶ。
前加法自然変換はただの前加法関手間の自然変換であるから、単に自然変換と呼ぶこともある。
前加法自然変換には和が定義できる：
前加法自然変換\theta,\sigma\colon F\Rightarrow Gに対して、
点毎に和を定め\theta + \sigma = \{\theta_x + \sigma_x\}_{x\in C}とすればよい。
前加法自然変換の和はまた前加法自然変換になり、
さらに前加法自然変換F\Rightarrow G全体の集合Nat(F,G)はアーベル群となる。
アーベル群Nat(F,G)の和は自然変換の（垂直）合成に対して双線型であり、よって関手圏Func(C,D)は前加法圏となる。
このような関手圏を前加法関手圏と呼び、Func(C,D)或いは[C,D] と表す。

M,NをR‐加群とする。
自然変換f\colon M\Rightarrow NをR‐加群準同型と呼ぶ。
その唯一の成分f_*\colon M*\to N*はアーベル群準同型であり、
これは自然変換の定義からa\in R,m\in M*を取るとf_*(a.m)=a.f_*(m)となる。

R‐加群とR-加群準同型の成す圏をR-Modと表す。（R-Mod=Func(\mathbb{B}R,Ab)である。）
R-Modは自然変換の和を成分毎の和で定めれば前加法圏となる。

関手U_R\colon R-Mod\to AbをU_R(M)=M_*,U_R(f)=f_*と定めると、これは前加法関手になる。
この前加法関手を忘却関手と呼ぶ。

今後、単に加群の圏と言えば、組(R-Mod,U_R)を指すものとし、R-ModについてはR-加群の”成す”圏と呼び、これを区別する。

加群の圏の圏Modを以下のように定義する：
その対象は加群の圏であり、
その射は前加法関手F\colon R-Mod\to S-Modであり、
忘却関手と可換である（U_R=U_S\circ Fを満たす）ものとする。*3

この記事では、冒頭に述べたように、環の圏と加群の圏の圏が反変圏同値であることを示すことを目標とする。

前加法圏における米田の補題

これからの準備として米田の補題の前加法圏版を証明しておく。
ただし、ここでは米田の補題(を含む、一般的な圏論)は既知とし、必要に応じて前加法性だけを確かめるものとする。

まずホム関手を定義する。

前加法圏Cとその対象a\in Cに対して、前加法関手F\colon C\to Abを以下のように定義する：
対象：各x\in Cに対してF(x)=C(a,x)\in Ab
射：各Cの射f\colon x\to yに対してF(f)=(f\circ -)\colon C(a,x)\to C(a,y)とする。
ただし、各Cの射g\colon a\to xに対して(f\circ -)\colon g\mapsto f\circ g
このようにして定めた前加法関手F\colon C\to Abを前加法ホム関手或いは単にホム関手と呼び、
C(a,-)\colon C\to Abと表す。

或る前加法関手F\colon C\to Abが或るa\in Cを以てF\cong C(a,-)となるとき、
前加法関手Fは(aで)表現可能であるといい、斯様なaをFの表現対象という。

さて、前加法圏における米田の補題は次のようになる：
前加法圏Cとその対象a\in Cと前加法関手F\colon C\to Abに対して、以下の同型が自然に成り立つ：
[C,Ab](C(a,-),F)\cong_{Ab}F(a)
ただし、\cong_{Ab}は圏Abにおける同型、すなわちアーベル群としての同型を表す。

[略証]
まず、同型\varphi\colon[C,Ab](C(a,-),F)\rightleftarrows F(a)\colon\psiを構成する：
自然変換\theta\colon C(a,-)\Rightarrow Fに対して、\varphi (\theta )=\theta_a(id_a)とし、
x\in F(a),b\in C,f\colon a\to bに対して、\psi(x)_b(f)=F(f)(x)とする。
これらが互いに逆になる（したがって同型になる）ことは計算すれば分かる*4。
次にこれらがアーベル群準同型になるか、つまり加法性を持つか確かめる。
と言っても、前加法自然変換の和は点毎の和であること、アーベル群準同型の和は点毎の和であること、F(f)がアーベル群準同型であることなどから、計算すればすぐに分かる。
□

淡中の補題

ここで、今後有用となる定理を１つ紹介しておく。
この定理（或いはこの定理に同値な命題）は「淡中の補題」と呼ばれるが、これは基本的にはこのブログ記事内のみでの呼称であることに留意されたい。

[定理]（淡中の補題）
忘却関手は正則加群で表現可能である。
すなわち、
自然な同型U_R\cong R-Mod(\mathbb{B}R(*,-),-)
および
アーベル群としての同型U_R(M)=M(*)\cong_{Ab}R-Mod(\mathbb{B}R(*,-),M)
が成り立つ。
[略証]
前加法米田からただちに従う。
□

淡中再構成

もう１つ有用な定理を示しておく。
こちらは先の補題とは違い、世界的にも淡中再構成定理(Tannaka Reconstruction Theorem)と呼ばれている(定理群のうち、最も簡単な)ものである。
以下に証明を記すが、実質的に過去の記事*5と内容が被るので、ここでは略証を記すに留める。

[定理](淡中再構成)
環としての同型
EndU_R=[R-Mod,Ab](U_R,U_R)\cong R
が成り立つ。
[略証]
まずアーベル群としての同型を示す。
淡中の補題と米田の補題から、
EndU_R=[R-Mod,Ab](U_R,U_R)
\cong [R-Mod,Ab](R-Mod(\mathbb{B}R(*,-),-),R-Mod(\mathbb{B}R(*,-),-) )
\cong R-Mod(\mathbb{B}R(*,-),\mathbb{B}R(*,-) )
\cong \mathbb{B}R(*,*)=R
となり、これらの同型は全てアーベル群としての同型だからよい。
元を取りこの同型を辿れば乗法も上手く定まることが分かる*6。
よって環としても同型になる。
□

淡中随伴

ここからの内容はメモ８( https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2021/05/15/003551 )と被るが、この後に必要となるため、また内容が少しズレている*7ため、ブラッシュアップも兼ねてここに書き直す。

まず、反変随伴の復習をする。

ここまで2026.01.09の更新。

関手の構成
自然変換の構成
随伴性
余単位は同型⇒右随伴は充満忠実
示唆と実証

主定理

『環の圏と加群の圏の圏は反変圏同値』
なぜ加群なのか
この先にある概念と定理
それらが示唆するもの、もたらすもの
さらに先へ(みんなが知っていること、知らないこと)

(『』の内容と項目のみの部分については近日加筆予定)

*1:Ringは前加法圏ではない。零環から零環以外への環準同型は存在せず、したがってそのようなホム集合は常に空であり、群になることはない。

*2:逆に、乗法（のアンカリー化）が構造射を定めるような加群を正則加群として定義することも多い。

*3:これは、前加法圏の成す圏をAbcと書くことにすれば、ModをAbcのAb上のスライス圏Abc/Abの充満部分圏であり加群の成す圏からなるもの として定義するのと同じことである。

*4:通常の米田の補題の証明を見よ。

*5: 前加法圏ベースではなく、モノイダル圏とその上のモノイド対象・加群対象をベースにしているが、ほぼ同じ証明となる。 https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2020/09/22/234153#%E7%92%B0%E3%81%AE%E6%B7%A1%E4%B8%AD%E5%86%8D%E6%A7%8B%E6%88%90

*6:実際に元r\in Rを取り、同型を式の下から追ってみる。最下段から１つ上段に行くと”rを右から掛ける加群準同型(-\cdot) r”＝r倍作用となる。さらに上段に行くと”r倍作用を右から合成する操作(-\circ (-\cdot r) )が成分になるような自然変換”となる。この逆は、米田の補題から\theta\mapsto\theta_a(id_a)を２回繰り返せばよい。これによって乗法が定まり、準同型やその合成はすべて双線型だから、件の同型は環同型になる。

*7:メモ８はV豊穣圏がベースだが、この記事は前加法圏ベースである。また、"加群の圏の圏"と呼ぶべき圏についても条件・内容が異なる。

メモ8(淡中随伴)

代数学･圏論

メモです。

2020年10月あたりから考え始めて、2021年5/12に解決した、淡中随伴の証明をします。
(2025年3月 加筆・修正)



まえがき

淡中随伴とは、大雑把に言えば
圏MonVと圏V-Cat/Vの間に 関手Endと関手tanがあり、またこれらによる反変随伴がある
という定理である。
淡中双対と呼ばれる｢モノイドの持つ対称性は、その加群の圏に(全体的に分散されながら)遺伝する｣｢加群の圏の持つ対称性は係数モノイドの対称性に復元される｣という定理があるが、淡中随伴はこの｢遺伝・復元｣する操作を与えると考えられる。
淡中随伴には共変なものと反変なものがあり、コエンドを用いた共変なものがよく知られているが、今回はエンドを用いた反変淡中随伴を証明する。

反変随伴

まず、反変関手の随伴を復習しておく。
反変随伴はただの反変関手間の随伴であるが、定義が紛らわしいと感じたのでここにまとめておく。

[定義]
C,D を圏とする。
関手 C^{op}→Dを CからD への反変関手と呼ぶ。

さて、先述した通り、反変関手間の随伴が反変随伴である。ここでは単位・余単位を用いた三角等式で随伴を定義する。

[定義]
C,Dを圏とし、
F\colon C →D^{op},G\colon D^{op}→Cを関手とする。
単位と呼ばれる自然変換η\colon Id_C→GF と
余単位と呼ばれる自然変換 θ\colon Id_D→FGがあり、
これらが以下の等式を満たすとき、組(F,G,η,θ) 或いは単に組(F,G) は 随伴 であるという*1:
任意の対象 x∈C,y∈Dに対して
① F(η_x)∘θ_{Fx}=id_{Fx}
② G(θ_y)∘η_{Gy}=id_{Gy}

これは以下の条件と同値である:
任意の対象 x∈C,y∈Dに対して
同型 Hom_D(y,Fx)≅Hom_C(x,Gy)
がx,y について自然に成り立つ。

この同型は具体的には以下のように与えられる:
g\colon y→Fxを\bar{g}= Gg∘η_x\colon x→Fyに写し、 f\colon x→Fyを \bar{f}=Ff∘θ_y\colon y→Gxに写す。

淡中随伴

準備

ここからは淡中随伴の証明に必要な準備をし、また実際に示すことを目標とする。

以下、 Vを完備なモノイダル閉圏とする。

圏の構成

まず圏を構成する。
MonVを V上のモノイド対象*2とそのモノイド準同型射*3の成す圏とする。

また、 V-Cat/Vは V豊穣圏の成す圏 V-Catの Vにおけるスライス圏*4とする。

関手の構成

次に、関手を構成する。
End\colon V-Cat/V→MonVを次のように定める:
対象(C,ω_C)∈V-Cat/Vを End(ω_C)=Hom_{Func(C,V)}(ω_C,ω_C)に写す。(C からV への V関手の成す V豊穣圏を Func(C,V)と書く。)これはメモ3*5の議論よりV のモノイド対象であるから、 MonVの対象になる。
また、射 F\colon (C,ω_C)→(D,ω_D)をEnd(F)\colon End(ω_D)→End(ω_C) に写す。これは具体的にはEnd(ω_D)\ni σ\mapsto σ・F∈End(ω_C)で与えられる。より詳細には、\{ σ_d\colon ω_D(d)→ω_D(d) \}_{d∈D}を \{ σ_{Fc}\colon ω_D(Fc)→ω_D(Fc)\}_{c∈C} に写すが、これはω_D∘F =ω_Cなので結局 \{ σ_{Fc}\colon ω_C(c)→ω_C(c) \}_{c∈C}となる。これは MonVの射になる。
こうして得られた関手End をエンド構成と呼ぶことがある。

また、関手tan \colon MonV→V-Cat/Vは加群の係数制限によって与えられる。すなわち、
対象 A∈MonVをその上の加群の圏*6と忘却関手*7の組(A-V,U_A)∈V-Cat/V に写し、
射f\colon A→B を係数制限 f^*\colon (B-V,U_B)→(A-V,U_A)に写す。これはより詳細には f^*\colon (X,ρ_X)\mapsto (X,ρ_X∘(f⊗X) )と f^*(g)=gによって与えられる。
こうして得られた関手 tanを淡中構成と呼ぶことがある。

単位の構成

さて、最後の準備として、淡中随伴の単位・余単位になる(はずの)自然変換を構成しよう。

まず、単位は η\colon Id_{V-Cat/V}⇒tan∘Endだが、具体的にはη_{(C,ω_C)}\colon (C,ω_C)→(Endω_C-V,U_{Endω_C}) で与えられる。
これがV-Cat/V の射としてWell-definedであることを示したいので、より詳細に見ていく。

些か天下り的ではあるが、 η_{(C,ω_C)}\colon X\mapsto (ω_CX,φ_X)とし、 φ_X\colon Endω_C→End_V(ω_CX)を φ_X(σ)=σ_Xと定める。
このとき、 φ_Xはモノイド準同型だから (ω_CX,φ_X)は Endω_C-加群であり*8、 ω_C=η_{(C,ω_C)}∘U_{Endω_C}も成り立つので、
X∈C∈V-Cat/Vに対してはWell-definedである。

また、C の射f\colon X→Y に対しても、η_{(C,ω_C)}(f)=ω_C(f) とすればよい。
実際、任意のσ ∈Endω_Cに対して σが自然変換であることから
φ_X(σ)∘ω_C(f)=σ_X∘ω_C(f)=ω_C(f)∘σ_Y=ω_C(f)∘φ_Y(σ)
を満たし、よって Endω_C加群準同型だからWell-definedである。

以上のことから、η_{(C,ω_C)} は V-Cat/Vの射としてWell-definedである。

また、この単位 η\colon Id_{V-Cat/V}⇒tan∘Endが自然変換になることを示さなければならない。そのためには、 V-Cat/Vの任意の射F\colon (C,ω_C) →(D,ω_D)に対して η_{(D,ω_D)}∘F=(tan∘EndF)∘η_{(C,ω_C)}(☆)が成り立つことを示せばよい。
対象 X∈Cに対しては (η_DFX,φ_{FX})=(η_CX,φ_X∘EndF)を示せばよい。
まず、
U_{Endω_D}∘η_D∘F=ω_D∘F=ω_C=U_{Endω_C}∘η_C
だから、 Vの対象としてはη_DFX=η_CX である。
また、 τ∈Endω_Dに対して
φ_{FX}(τ)=τ_{FX}=(τ・F)_X=φ_X∘EndF(τ)
だから、構造射も同じである。
故に、対象については(☆)が成り立つ。
さらに、 Cの射 fに対しても、
η_D∘Ff=ω_D∘Ff=ω_Cf=(EndF)^*(ω_Cf)=tan∘EndF∘η_C(f)
が成り立つので、(☆)が成り立つ。

余単位の構成

次に、余単位 Id_{MonV}⇒End∘tanを構成する。
ところが、淡中再構成*9の議論よりこれ(の各成分)は同型であるから、それをそのまま余単位(の成分)とすればよい。もう少し詳しく述べれば、この同型は淡中の補題による同型と米田の補題による同型を経由する。

なお、淡中随伴の単位(或いは単位が同型になるか？という問題)を淡中再認識、余単位(或いは余単位が同型になるか？という問題)を淡中再構成と呼ぶことがある。今回の場合、余単位は同型だが、単位は同型でない。

証明

単位・余単位(になるはずの自然変換)を構成できたので、これらが三角等式を満たすことを示す。
とは言ったものの、
① End(η_C)∘θ_{Endω_C}=id_{Endω_C}
② tan(θ_A)∘η_{tanA}=id_{tanA}
を示すのだが、余単位が同型なので等式が成り立つことがすぐにわかってしまう。*10

よってEnd と tanは随伴である。

念のため、もう一度主張を掲げておく:
[定理](反変淡中随伴)
圏 V-Cat/V,MonVの間に
関手 End\colon V-Cat/V→MonV,tan\colon MonV→V-Cat/Vを構成でき、
これが反変随伴になる。
左随伴はEndであり、右随伴はtanである。
この随伴の余単位は同型だが、単位(またはその成分)は同型とは限らない。

*1:このときF をG の左随伴、 GをF の右随伴と呼ぶ。

*2: 組(A∈V,m\colon A⊗_VA→A,u\colon 1_V→A) で、m∘(m⊗A)=m∘(A⊗m),m∘(u⊗A)=A=m∘(A⊗u)を満たすもの。mをAの乗法、uをAの単位と呼び、これらが明らかな時には(A,m,u)を単にAと書く。

*3: Vの射であって、モノイド対象の乗法と単位を保存するもの。

*4: 対象は V豊穣圏 Cと V関手 ω_C\colon C→Vの組 (C,ω_C)であり、射は V関手 F\colon C→Dでω_C=ω_D∘F を満たすものであるとする。

*5: https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2021/02/01/095156

*6: Vにおけるモノイド対象 Aの上の加群対象、或いは単に A-加群とは、対象X∈V と構造射と呼ばれる射 ρ_A\colon A⊗X→Xの組 (X,ρ_A)であり、特に ρ_X∘(m⊗X)=ρ_X∘(A⊗ρ_X)とρ_X∘(u⊗X) =Xを満たすもののことである。また、 A加群準同型射とはV の射f\colon X→Y であり、f∘ρ_X=ρ_Y∘f を満たすもののことである。加群と加群準同型は圏を成し、特に Vが完備であるから( A-V≅Func(\mathbb{B}A,V) だから) V豊穣圏にもなる。

*7: A-V\ni (X,ρ_X)\mapsto X∈Vによって与えられる(つまり加群の構造射を忘れる) V関手 U_A\colon A-V→Vのことである。淡中の補題から、U_A≅Hom_{A-V}(A,-) と定義してもよい。

*8:加群の構造射による定義とモノイド準同型による定義の同値性についてはメモ7 (https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2021/03/26/014319)においても論じられている。

*9: https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2020/09/22/234153 と同様の議論を一般の豊穣圏について行えばよい。

*10: 少し詳細に見ると、EndU_{Endω_C}≅Endω_C,\{σ_X\}_{X∈Endω_C-V}=\{σ_{η_CX}\}_{X∈C} , θ_A^*は同型 などの事実から従う。

メモ7(群環の上の加群と群の表現の対応)

3/8に考えたことのメモです。

以前書いた『淡中再構成(環上の加群)』という記事*1において、「何故 群環/多元環/リー環 の表現は その上の加群を考えるのか」という問いを掲げ、その答えとして「環上の加群の淡中双対があるから」を提示しました。
しかし、「群の表現と群環の上の加群、或いは リー環の表現と普遍包絡環の上の加群は 何故対応するのか」という点については説明できていませんでした。今回の記事ではこれを説明します。



Vをモノイダル閉圏とし、その上のモノイド対象の成す圏をMonVとする。
また、Cを圏とし、Xをその対象とする。

[補題]
モノイダル閉圏Vの対象A,Mを取り、特にAをモノイド対象とする。
このとき、次の2つは同値である:
(1) 射ρ\colon A⊗M→Mがあり、(M,ρ)はA-加群となる。
(2) 射f\colon A→Hom_V(M,M)=EndMがあり、これがモノイド準同型である。

[証明]
テンソルホム随伴( -⊗X\dashv Hom(X,-) )の
単位をev^X\colon Hom(X,-)⊗X⇒Id_V
余単位をcoev^X\colon Id_V⇒Hom(X,-⊗X) とする。
(1)⇒(2)はf=Hom(M,ρ)\circ coev^M_Aとし
(2)⇒(1)はρ=ev^M_M\circ (f⊗M) とすればよい。
これは噛み砕いて言えばf(a)=ρ(a,-)とするのと同じである。 ■

この補題によって、加群の構造射と(適当な)モノイド準同型は等価であることがわかった。


さて、関手U\colon MonV→Cがあり、これが左随伴F\colon C→MonVを持つとする。

対象X∈Cを取れ。
MをF(X)上の加群とすると、Mは構造射(に対応するモノイド準同型)F(X)→EndM in MonVを備える。
ここで、随伴があるから
Hom_{MonV}(F(X),End(M) )≅Hom_C(X,U(End(M) ) )が成り立つので、
これは射X→U(End(M) ) in Cに対応する。


(例1)
Cを群の圏Grp、Vをベクトル空間の圏Vectとせよ。MonVは多元環の圏Algとなる。
このとき、U\colon Alg→Grpは多元環の乗法群(単元群)を取る操作、F\colon Grp→Algは群環を取る操作で与えられる。
上の議論から、群環上の加群F(X)⊗M→Mと群の表現X→単元群(自己準同型モノイド(M) )=自己同型群(M)=GL(M)が対応することがわかる。

(例2)
Cをリー環の圏Lie、V=Vectとせよ。
U\colon Alg→Lieは多元環からリー環を標準的に作る操作、F\colon Lie→Algは普遍包絡環を取る操作で与えられる。
上の議論から、リー環の普遍包絡環の上の加群とリー環の表現が対応することがわかる。

(例3)
Cを(有限)集合の圏Set、Vを(有限次元)k-ベクトル空間の圏Vect_kとせよ。
U\colon Alg_k→Setは忘却、F\colon Set→Alg_kは非可換多項式環(自由多元環)を取る操作*2で与えられる。
上の議論から、多項式環F(X)=k [ X ] 上の加群と写像X→EndM=M_n(k)が対応することがわかる。

*1: https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2020/09/22/234153

*2:或いは、集合から自由モノイドを作りそのモノイド環を取る操作、自由加群を作りそのテンソル代数を取る操作 と言ってもいい

メモ6(中心のモノイド性)

2月半ばに考えて2.20に解決した問題のメモ・解説です。
問題は「モノイダル圏のモノイド対象の中心はまたモノイド対象となるか？なるなら可換なのか？」です。
ネタバレしておくと、肯定的に解決できました。





以下Vを(完備な)モノイダル圏とし、Aをそのモノイド対象とする。

Z∈Vが以下を満たすとき、これをAの中心と呼びZ(A)と表すのであった。*1:
①Vの射i\colon Z→Aがある。
②iは任意のa∈A,z∈Zに対してa*i(z)=i(z)*aを満たす。*2
③X∈Vと射f\colon X→Aがあり、これらが②を満たすとき、射φ\colon X→Zが一意に存在してiφ=fを満たす。

また、この中心Z(A)はZ(A)=∫_{*∈\mathbb{B}A}Hom_{\mathbb{B}A}(*,*)としても構成できるのであった。
ここに\mathbb{B}AとはAのdeloopingと呼ばれるV-豊穣圏であり、
・対象は1つのみ(であり*と表される)
・射集合はAであり、射の合成はモノイドの乗法で定める
と定義される。

さらに「中心」はVが完備ならいつでも存在するのだから、結局「完備モノイダル圏Vのモノイド対象Aに対して その中心Z(A)が存在して これはVの対象であり∫_{*\in \mathbb{B}A}\mathbb{B}A(*,*)として構成される」ということが言える。

ここまではメモ2の復習であるが、ここからメモ3の内容を混じえることで主題の結果を得る。

メモ3*3に拠れば、
V-豊穣圏Cの対象Xに対して
End_C(X)はVのモノイド対象になるのであった。
ここで、End_{[\mathbb{B}A,\mathbb{B}A]}(Id_{\mathbb{B}A})を考えると、
これは∫_{*\in \mathbb{B}A}\mathbb{B}A(*,*)となり、
結局Z(A)に一致し、またVのモノイド対象でなることもわかる。
また、中心の可換性から 中心は可換モノイド対象になることもわかる。

例1)
環の中心は環であり、特に可換環である。
中心に備わっている射iは大体包含と思えるから、環の中心は可換な部分環になるとも言える。

例2)
モノイダル圏の中心はモノイダル圏であり、特にVがBraidedであればBraided モノイダル圏になる。

*1: https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2021/01/31/232549 を見よ

*2: これはちょっとInformalで、より正確にはtwisttに対して[tex:m_A(id_A⊗i)=m_A(t(id_A⊗i) )などと書くべきである。

*3: https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2021/02/01/095156 を見よ。

メモ5(単位元の普遍性)

メモです。
2020年の年末くらいに考えていた「淡中の補題の 単位元の普遍性を用いた別証明」の解説です。



[定理](米田の補題)
Cを局所小圏、F\colon C→Setを関手、a∈Cを対象とせよ。
このとき、集合としての同型
Hom_{[C,Set] }(Hom_C(a,-),F)≅F(a)がある。

[略証]
この同型はθ\mapsto θ_a(id_a)によって与えられ、
これの逆はx\mapsto Ψ^xによって与えられる。
ただし、f\colon a→bに対してΨ^x_b(f)=Ff(x)とする。

[補題](表現対象の普遍性)
関手F\colon C→SetがA∈Cで表現可能
( F≅Hom_C(A,-) )
⇔
F(A)の元uがあって、
任意のX∈C,x∈F(X)に対して
(Fx')(u)=xとなるx'\colon A→Xが一意的に存在する。(☆)

[証明]
米田の補題より、u∈F(A)を取って
Ψ^uが同型⇔(☆)
を示せばよい。

Ψ^uは自然変換Hom_C,(A,-)⇒Fであった。
故に、
Ψ^uが同型
⇔Ψ^uの全ての成分が同型
⇔任意の対象X∈Cに対してΨ^u_Xが同型
となる。
Ψ^u_X\colon Hom_C(A,X)→F(X)だから、
これが同型であること
⇔Ψ^u_Xが一対一対応を与える
⇔各x∈F(X)に対してx'\colon A→Xが定まり、Ψ^u_X(x')=xとなる
となる。
Ψ^u_X(x')=(Fx')(u)なので、これは(☆)と同値である。 ■

さて、モノイドMに対する淡中の補題とは以下の主張であった :
[定理](モノイド作用付集合の淡中の補題)
忘却関手F\colon M-Set→Setは正則加群Mで表現可能である。

これは先の補題を用いれば次のように言い換えられる :
[命題]
(集合としての)Mの元u∈Mがあり、
任意のM-集合Xと(集合としての)Xの元x∈Xに対して
(Fx')(u)=xとなる M-準同型x'\colon M→Xが存在する。(☆)

これはより簡潔に書けば
[命題]
Mをモノイドとする。
このとき、任意のM-集合Xのその元x∈Xに対して
x'(u)=xとなるM-準同型x'\colon M→Xが存在する。
となる。
これは実際に成り立ち、uをMの単位元とし、x'=ρ(-,x)とすればよい。
このときx'がM-準同型であることと一意的であることは自明であるものとする。

また、この事実は以下のようにも表現(expression)できるだろう :

モノイドMの単位元u(或いは単位元を取る射u\colon 1→M)は次の意味で普遍的である:
どんなM-加群Xとその元x(或いは元としてxを取る射x\colon 1→X)に対しても、射φ\colon M→Xが一意的に存在し、φu=xを満たす。
なお、このφはρ_X(-,x)で与えられる。

これはモノイドの単位元が或る意味で"普遍的"である(普遍性を持つ)ことを言っていると考えられる。

つまり、淡中の補題とは、見方を変えれば"単位元の普遍性"から従う定理であったのだと言えよう。

メモ4(カルテシアン圏と双対対象)

メモです。
2021.02初旬に考察した「剛モノイダルなカルテシアン圏はどのようなものが存在するか」という問に対する答えです。



Cをカルテシアンモノイダル圏*1とし、さらに剛モノイダル圏であるとする。
対象A∈Cの双対対象をA^*と表すことにする。

よく知られた定理*2「剛ならば閉」から、-×A^*とHom(A,-)は(自然同型を除いて)一致する。
したがって、特に1×A^*≅A^*≅Hom(A,1)≅1が成り立つ。
つまり、どんな対象も その双対対象は終対象である。

さて、A∈Cの評価射e_A\colon A^*×A→1と余評価射c_A\colon 1→A×A^*を考える。
評価射は射A→1と同じであり、これは1が終対象であることから生える唯一の射である。
余評価射は射1→Aと同じであり、これは同型Hom(1,A)≅A*3を通じて Aの"元"と対応する。

これらを念頭に置いた上で三角等式を見てみよう。
三角等式は
①(id_A×e_A)(c_A×id_A)=id_A
②(e_A×id_{A^*})(id_{A^*}×c_A)=id_{A^*}
である。

ここに元a∈Aを代入して①がどのような条件であるのか確かめたいところだが、一般の圏の対象には元があるとは限らないので、元a∈Aの代わりに射a\colon 1→Aを取り、これを"元"と看做すこととし、これを①に合成する。
②については射をそのまま取れるから、それを代入することにする。

すなわち、a\colon 1→A,f\colon A→1として
①'(id_A×e_A)(c_A×id_A)(id_1×a)=id_A(a)
②'(e_A×id_{A^*})(id_{A^*}×c_A)(f×id_1)=id_{A^*}(f)
を考察する。

①'は(f×g)(f'×g')=(ff')×(gg')を用いれば
c_A×e_A(a)=aと書ける。
e_Aは唯一の射であったから無視すると、
これは「任意の対象A∈Cに対して"元"c∈Aが存在して、任意の元a∈Aに対してc=aである」と言っていることになる。
つまりA=\{c \}=1ということを言っている。
②'も同様に
e_A(f)×c_A=fと書ける。
これについては要するにA^*=1ということを言っており、これは既に見た通りである。
A=1なのだから、これはA^*=Hom(A,1)≅Hom(1,1)≅1=\{id_1\} ということを言っている。

以上のことから、剛モノイダルなカルテシアンモノイダル圏は単位圏1*4しか有り得ないということがわかる。

*1:有限直積を持ち、それをモノイダル積とするモノイダル圏

*2: https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2020/05/31/063027 を見よ。

*3:これはモノイダル閉圏なら成り立つ同型である。

*4:対象は1のみで射はid_1のみの圏。これはCatの終対象(したがって単位対象)でもある。

メモ3(自己準同型モノイド)

メモです。
2021.1.27に考察した「自己準同型を集めるとモノイドになるが、これは豊穣圏でも成立するか？」という問題に対する答えをまとめておきます。



Vをモノイダル圏、CをV-豊穣圏とせよ。
V-豊穣圏Cには、
Hom集合Hom_C(a,b)にあたるものとして C(a,b)∈V、
射の合成にあたるものとして m_{abc}\colon C(b,c)⊗_VC(a,b)→C(a,c)、
恒等射(を取ってくる射)にあたるものとして j_a\colon 1_V→C(a,a)
が定まっており、これらは結合律と単位律を満たすのであった。
このことから 以下の定理がわかる :

[定理]
V-豊穣圏Cの対象Xについて、
End_C(X)=C(X,X)はVのモノイド対象になる。
なお、乗法はm_{XXX}\colon C(X,X)⊗_VC(X,X)→C(X,X)で与えられ、
単位はj_X\colon 1_V→C(X,X)で与えられる。

例1)
集合の圏Setを考えよ。
これはモノイダル閉だから自己豊穣、したがってSetはSet-豊穣圏である。
故に、集合Xの自己写像全体End(X)を考えると、これは合成を乗法としてモノイドになる。

例2)
アーベル群の圏Abを考えよ。
これはモノイダル閉だから、AbはAb-豊穣圏である。
故に、アーベル群Mの自己準同型環End(M)は単位的環となる。
これと全く同じことがR-加群の圏に於いても言える。

例3)
Vを完備かつモノイダル閉であるとし、V-豊穣圏C,Dを取れ。
このとき関手圏[C,D] はV-豊穣圏である。
V-関手F\colon C→Dを取り、End(F)=∫_{c∈C}D(Fc,Fc) を考えると、これはVのモノイド対象である。
特に、前層F\colon C→Vに対するEnd(F)はVのモノイド対象となる。

(Remark!)
この例に於いてV=Abとすると、『淡中再構成(環上の加群)』 https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2020/09/22/234153 と内容が一致する。

例4)
Vを完備かつモノイダル閉とし、V-豊穣圏の成す圏V-Catを考えよ。
このときV-Catはモノイダル閉であり、したがってV-Cat-豊穣圏となる。
V-豊穣圏Cに対してEnd(C)はV-Catのモノイド対象、つまりV-豊穣モノイダル圏になる。
これはV=Setとすれば、「自己関手の圏はモノイダル圏になる」と言っているのと同じである。


【追記】

以上では｢自己準同型はモノイドを成す｣を示したが、この逆｢モノイドは自己準同型から与えられる｣も示すことができる。
すなわち、 Vをモノイダル圏とし A∈Vをそのモノイド対象とせよ。このとき、次のような V豊穣圏 \mathbb{B}Aを構成することができる*1 :
対象は唯一つであり(これを *_Aと書く)、射集合は\mathbb{B}A(*_A,*_A)≅A によって与えられる。射の合成がモノイド対象の乗法に、恒等射(を取る射)がモノイド対象の単位に対応している。
この状況に於いて、定義から明らかにモノイド対象 Aは V豊穣圏 \mathbb{B}A内の自己準同型モノイドとして表されている。
つまり、｢全てのモノイド対象は自己準同型モノイドとして表される｣ということが言える。

また、この議論によって｢ Vのモノイド対象と一点*2 V豊穣圏は等価である｣ということも言える。
例えば、一点圏はモノイドであり、逆もまた然り。

*1: このようにして構成された \mathbb{B}AをA のdeloopingと呼ぶことがある。

*2:対象が唯一つの圏を一点圏と呼ぶ。