メモ2(中心の普遍性) - 散れども切れぬ備忘録

メモです。
2021.1.08に発見した「中心の普遍性」についてメモしておきます。

以下 $V$ を(対称閉)モノイダル圏とし、 $A$ をそのモノイド対象とする。
$Z∈V$ が以下を満たすとき、これを $A$ の中心と呼び $Z(A)$ と表す。:
① $V$ の射 $i\colon Z→A$ がある。
② $i$ は任意の $a∈A,z∈Z$ に対して $a*i(z)=i(z)*a$ を満たす。*1
③ $X∈V$ と射 $f\colon X→A$ があり、これらが②を満たすとき、射 $φ\colon X→Z$ が一意に存在して $iφ=f$ を満たす。

②を中心の可換性と呼び、③を中心の普遍性と呼ぶ。
中心は普遍性を持つから、存在すれば同型を除いて一意である。

例1)
$R$ を単位的環とする。すなわち、モノイダル圏 $(Ab,⊗_Z,Z)$ のモノイド対象とする。
$Z(R)=\{z∈R\colon \forall r∈R,zr=rz\}$ とせよ。
これは環の中心と呼ばれるものであるが、可換性と普遍性を持つから先の「中心」と一致する。
つまり、環の中心は「中心」である。
「中心」はただのアーベル群として定まるから、これが $R$ の部分環となるのは(少なくとも筆者にとっては)非自明なことである。
【追記】
この問題は既に解決された。メモ6 https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2021/02/21/110954 を見よ。

この「中心」は、 $V$ が完備ならば必ず存在する。
[証明]
モノイド対象 $A$ のdeloopingを $BA$ とする。すなわち、 $BA$ は一点 $V$ -豊穣圏であり、 $Hom_{BA}(*,*)≅A$ が $V$ のモノイド対象として成り立つ。
「 $V$ が完備(かつ対称閉)モノイダルで $C$ が $V$ -豊穣圏なら、関手 $T\colon C^{op}⊗C→V$ に対してエンド $∫_{x∈C}T(x,x)$ が存在する」という定理を認めれば、エンド $∫_{*∈BA}Hom_{BA}(*,*)$ は必ず存在する。
これは定義から $A$ に対する可換性と普遍性を持つから $A$ の「中心」である。 ■