Rigid monoidal category⇒Closed monoidal categoryの証明
題名の通りです。
双対対象(ベクトル空間に対する双対空間のようなもの)を持つ圏をRigid monoidal category(和名:剛モノイダル圏)といい、内部Hom(ベクトル空間に対する写像空間のようなもの)を持つ圏をClosed monoidal category(和名:閉モノイダル圏)といいます。
ベクトル空間の圏はこの2つの圏の例になっており、実際に双対空間V*や写像空間Hom(V,W)を定義することができます。
線形代数によく親しんだ方なら分かると思いますが、実はベクトル空間についてはHom(V,W)≅V*⊗︎Wという関係が成り立っています。一般のモノイダル圏についてもこれと似た関係があり、題名になっている関係が成り立つので、備忘録がてらこれの証明を記事にします。
間違い*1などあれば教えて下さると助かります。
この記事ではモノイダル圏に関する基礎事項は既知とします。モノイダル圏を学ぶための標準的な教科書(和書)は『圏論の基礎』でしょうが、英語でも構わないのであればサーベイのpdfがネット上で沢山公開されているのでそれらを読むと良いでしょう。
モノイダル圏の定義は『カルテシアン圏と余代数』( https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2019/11/23/031706 )にも書かれていますので目を通してみてください。
Rigid
以下をstrictな*2モノイダル圏とします。
また、をしばしばとも書きます。
[定義](Rigid object)
に対して
があり、
これらがを満たすとき、
をright*3 dualizable objectと呼び、組または単にをのright dual objectと呼びます。また、right dualizable objectはしばしばright rigid objectとも呼ばれます。
同様に、left dual objectがの適当な組として定義されます。
がleft dualizableかつright dualizableでleft dualとright dualが同型である時、をbi-dualizable object、をbi-dual object*4と呼びます。
後で示しますが、right dual objectは存在すれば同型を除いて一意なので、しばしばと表されます。同様にleft dual objectはと表されます。また、bi-dualの時にはと表すことが多いです。
[定義](Rigid category)
モノイダル圏の対象が全てright(left,bi) dualizableであるとき、したがって全ての対象がright(left,bi) dual objectを持つとき、モノイダル圏はright(left,bi) rigid monoidal categoryであるといいます。
(例)
有限次元k-ベクトル空間の圏の対象はdual objectとしてを持ちます。ゆえには(bi-)rigid categoryです。
Closed
[定義](tensor action)
とします。関手をright*5 tensor action (functor)と呼びます。
余談*6
同様に、をleft tensor actionと呼びます。
とが自然同型であるとき、関手をbi-tensor action functorと呼びます。
[定義](closed object)
right tensor action functorが右随伴を持つとき、をright closed objectと呼び、の右随伴をと表します。
同様に、left tensor action functorが右随伴を持つとき をleft closed objectと呼び、随伴をと表します。
bi-tensor action functorが右随伴を持つとき、をbi-closed objectと呼び、その随伴をと表し、internal hom functorと呼びます。このinternal hom functorは 定義からと自然同型です。
[定義](Closed category)
モノイダル圏の対象が全てright(left,bi) closedであるとき、モノイダル圏はright(left,bi) closed monoidal categoryであるといいます。
(例)
においてにはベクトル空間の構造を自然に入れることができ、よってこれは関手を定めます。この関手はbi-tensor actionの右随伴になっており、これが任意のについて成り立つので、はbi-closed monoidalです。
一般のモノイダル圏においてもはHom集合のような役割を果たすので 内部ホム(internal hom)という名前が付いています。(ホムが またモノイダル圏の"内部"に入る([X,Y]∈Vとなる)ので「内部ホム」です。)
Rigid⇒Closed
次の定理を示します:
[定理](rigid⇒closed)
right rigid objectはright closed objectです。
[証明]
とし、これをright rigid objectとします。
をで与え、これがの右随伴になっていることを示します。
そのためには(余)単位射を与え、これらが任意のに対して三角等式を満たすことを示せばよいです。(このことの証明は例えば『ベーシック圏論』に載っています。)
とすれば、は関手なので、right rigid objectの定義から明らか三角等式に満たします。 ■
これと殆ど同様にしてleft rigid object⇒left closed objectも示せます。
また、以下の系を得ます:
[系]
・bi-rigid object⇒bi-closed object
・right(left,bi) rigid monoidal category⇒right(left,bi) closed monoidal category
このことを鑑みて、(bi-)closed monoidal category においてとし、これをweak dualと呼ぶことがあるようです(が、使い道はよく分かりません)。例えばにおいてはなので妥当な定義と言えます。
先程「あとで示す」と言っていた「dual objectは同型を除いて一意」を示します。これは「rigid objectならclosed object」を使うと簡単に示せます。
[定理]
を(right) rigid objectとし、そのdual objectをとします。このときです。
[証明]
はXのright dual objectなので、「right rigid objectならright closed object」からとなります。随伴は自然同型を除いて一意なので自然にであり、これに1を代入すればが得られます。■
Appendix:Braided
[定義](Braided object)
がBraided objectであるとは、任意の対象に対して射があって、これが自然に同型であることです。
つまり、自然変換があってこれが自然同型であるときをBraided objectと呼びます。
[命題]
が自然同型であることとがBraided objectであることは同値です。
同様に、が自然同型であることとがBraided objectであることは同値です。
また、がBraided objectであるとき、left(right) tensor action functorやleft(right) internal hom functorはbi-〜になります。
[定義]
モノイダル圏の全ての対象がBraidedであり、
が,を満たすとき、をBraided monoidal categoryと呼びます。
[命題]
Braided monoidal category内においては左右の概念は一致し、どちらもbi-となります。
*1:ただし、呼称や表記の揺れは除く。
*2:つまり、(a⊗︎b)⊗︎c=a⊗︎(b⊗︎c),1⊗︎a=a=a⊗︎1を課します。strictでない場合にも殆ど同様の議論ができます。
*3:文献によってはleftとしている場合があります。というか寧ろleftの方が多いように感じます。しかし、ここでは 後で定義する概念の左右の適合のためにrightとしています。
*4:単にdualと呼ばれることが多いですが、混乱すると思ったのでbi-を付けることにしました。あまり見かけませんが既存の用語です。
*5:右からかけるのでrightです。これについては呼称の揺れはあまり無いようです。
*6:-⊗︎XがモナドになるのとX=1⊗︎Xがモノイドであることは同値です。また、これをAb上で考えると、モナドであるright tensor actionの代数(加群)と環上の右加群は概念として一致します。