2021-05-15

メモ8(淡中随伴)

メモです。

2020年10月あたりから考え始めて、2021年5/12に解決した、淡中随伴の証明をします。

まえがき
反変随伴
淡中随伴
- 準備
- 証明

まえがき

淡中随伴とは、大雑把に言えば
圏MonVと圏V-Cat/Vの間に関手Endと関手tanがあり、またこれらによる反変随伴がある
という定理である。
淡中双対と呼ばれる｢モノイドの持つ対称性は、その加群の圏に(全体的に分散されながら)遺伝する｣｢加群の圏の持つ対称性は係数モノイドの対称性に復元される｣という定理があるが、淡中随伴はこの｢遺伝・復元｣する操作を与えると考えられる。
淡中随伴には共変なものと反変なものがあり、コエンドを用いた共変なものがよく知られているが、今回はエンドを用いた反変淡中随伴を証明する。

反変随伴

まず、反変関手の随伴を復習しておく。
反変随伴はただの反変関手間の随伴であるが、定義が紛らわしいと感じたのでここにまとめておく。

[定義]
$C,D$ を圏とする。
関手 $C^{op}→D$ を $C$ から $D$ への反変関手と呼ぶ。

さて、先述した通り、反変関手間の随伴が反変随伴である。ここでは単位・余単位を用いた三角等式で随伴を定義する。

[定義]
$C,D$ を圏とし、
$F\colon C^{op} →D,G\colon D→C^{op}$ を反変関手とする。
単位と呼ばれる自然変換 $η\colon Id_C→GF$ と
余単位と呼ばれる自然変換 $θ\colon Id_D→FG$ があり、
これらが以下の等式を満たすとき、組 $(F,G,η,θ)$ 或いは単に組 $(F,G)$ は随伴であるという*1:
任意の対象 $x∈C,y∈D$ に対して
① $F(η_x)∘θ_{Fx}=id_{Fx}$
② $G(θ_y)∘η_{Gy}=id_{Gy}$

これは以下の条件と同値である:
任意の対象 $x∈C,y∈D$ に対して
同型 $Hom_D(y,Fx)≅Hom_C(x,Gy)$
が $x,y$ について自然に成り立つ。

この同型は具体的には以下のように与えられる:
$g\colon y→Fx$ を $\bar{g}= Gg∘η_x\colon x→Fy$ に写し、 $f\colon x→Fy$ を $\bar{f}=Ff∘θ_y\colon y→Gx$ に写す。

淡中随伴

準備

ここからは淡中随伴の証明に必要な準備をし、また実際に示すことを目標とする。

以下、 $V$ を完備なモノイダル閉圏とする。

圏の構成

まず圏を構成する。
$MonV$ を $V$ 上のモノイド対象*2とそのモノイド準同型射*3の成す圏とする。

また、 $V-Cat/V$ は $V$ 豊穣圏の成す圏 $V-Cat$ の $V$ におけるスライス圏*4とする。

関手の構成

次に、関手を構成する。
$End\colon V-Cat/V→MonV$ を次のように定める:
対象 $(C,ω_C)∈V-Cat/V$ を $End(ω_C)=Hom_{Func(C,V)}(ω_C,ω_C)$ に写す。( $C$ から $V$ への $V$ 関手の成す $V$ 豊穣圏を $Func(C,V)$ と書く。)これはメモ3*5の議論より $V$ のモノイド対象であるから、 $MonV$ の対象になる。
また、射 $F\colon (C,ω_C)→(D,ω_D)$ を $End(F)\colon End(ω_D)→End(ω_C)$ に写す。これは具体的には $End(ω_D)\ni σ\mapsto σ・F∈End(ω_C)$ で与えられる。より詳細には、 $\{ σ_d\colon ω_D(d)→ω_D(d) \}_{d∈D}$ を $\{ σ_{Fc}\colon ω_D(Fc)→ω_D(Fc)\}_{c∈C}$ に写すが、これは $ω_D∘F =ω_C$ なので結局 $\{ σ_{Fc}\colon ω_C(c)→ω_C(c) \}_{c∈C}$ となる。これは $MonV$ の射になる。
こうして得られた関手 $End$ をエンド構成と呼ぶことがある。

また、関手 $tan \colon MonV→V-Cat/V$ は加群の係数制限によって与えられる。すなわち、
対象 $A∈MonV$ をその上の加群の圏*6と忘却関手*7の組 $(A-V,U_A)∈V-Cat/V$ に写し、
射 $f\colon A→B$ を係数制限 $f^*\colon (B-V,U_B)→(A-V,U_A)$ に写す。これはより詳細には $f^*\colon (X,ρ_X)\mapsto (X,ρ_X∘(f⊗X) )$ と $f^*(g)=g$ によって与えられる。
こうして得られた関手 $tan$ を淡中構成と呼ぶことがある。

単位の構成

さて、最後の準備として、淡中随伴の単位・余単位になる(はずの)自然変換を構成しよう。

まず、単位は $η\colon Id_{V-Cat/V}⇒tan∘End$ だが、具体的には $η_{(C,ω_C)}\colon (C,ω_C)→(Endω_C-V,U_{Endω_C})$ で与えられる。
これが $V-Cat/V$ の射としてWell-definedであることを示したいので、より詳細に見ていく。

些か天下り的ではあるが、 $η_{(C,ω_C)}\colon X\mapsto (ω_CX,φ_X)$ とし、 $φ_X\colon Endω_C→End_V(ω_CX)$ を $φ_X(σ)=σ_X$ と定める。
このとき、 $φ_X$ はモノイド準同型だから $(ω_CX,φ_X)$ は $Endω_C$ -加群であり*8、 $ω_C=η_{(C,ω_C)}∘U_{Endω_C}$ も成り立つので、
$X∈C∈V-Cat/V$ に対してはWell-definedである。

また、 $C$ の射 $f\colon X→Y$ に対しても、 $η_{(C,ω_C)}(f)=ω_C(f)$ とすればよい。
実際、任意の $σ ∈Endω_C$ に対して $σ$ が自然変換であることから
$φ_X(σ)∘ω_C(f)=σ_X∘ω_C(f)=ω_C(f)∘σ_Y=ω_C(f)∘φ_Y(σ)$
を満たし、よって $Endω_C$ 加群準同型だからWell-definedである。

以上のことから、 $η_{(C,ω_C)}$ は $V-Cat/V$ の射としてWell-definedである。

また、この単位 $η\colon Id_{V-Cat/V}⇒tan∘End$ が自然変換になることを示さなければならない。そのためには、 $V-Cat/V$ の任意の射 $F\colon (C,ω_C) →(D,ω_D)$ に対して $η_{(D,ω_D)}∘F=(tan∘EndF)∘η_{(C,ω_C)}$ (☆)が成り立つことを示せばよい。
対象 $X∈C$ に対しては $(η_DFX,φ_{FX})=(η_CX,φ_X∘EndF)$ を示せばよい。
まず、
$U_{Endω_D}∘η_D∘F=ω_D∘F=ω_C=U_{Endω_C}∘η_C$
だから、 $V$ の対象としては $η_DFX=η_CX$ である。
また、 $τ∈Endω_D$ に対して
$φ_{FX}(τ)=τ_{FX}=(τ・F)_X=φ_X∘EndF(τ)$
だから、構造射も同じである。
故に、対象については(☆)が成り立つ。
さらに、 $C$ の射 $f$ に対しても、
$η_D∘Ff=ω_D∘Ff=ω_Cf=(EndF)^*(ω_Cf)=tan∘EndF∘η_C(f)$
が成り立つので、(☆)が成り立つ。

余単位の構成

次に、余単位 $Id_{MonV}⇒End∘tan$ を構成する。
ところが、淡中再構成*9の議論よりこれ(の各成分)は同型であるから、それをそのまま余単位(の成分)とすればよい。もう少し詳しく述べれば、この同型は淡中の補題による同型と米田の補題による同型を経由する。

なお、淡中随伴の単位(或いは単位が同型になるか？という問題)を淡中再認識、余単位(或いは余単位が同型になるか？という問題)を淡中再構成と呼ぶことがある。今回の場合、余単位は同型だが、単位は同型でない。

証明

単位・余単位(になるはずの自然変換)を構成できたので、これらが三角等式を満たすことを示す。
とは言ったものの、
① $End(η_C)∘θ_{Endω_C}=id_{Endω_C}$
② $tan(θ_A)∘η_{tanA}=id_{tanA}$
を示すのだが、余単位が同型なので等式が成り立つことがすぐにわかってしまう。*10

よって $End$ と $tan$ は随伴である。

念のため、もう一度主張を掲げておく:
[定理](反変淡中随伴)
圏 $V-Cat/V,MonV$ の間に
関手 $End\colon V-Cat/V→MonV,tan\colon MonV→V-Cat/V$ を構成でき、
これが反変随伴になる。
この随伴の余単位は同型だが、単位(またはその成分)は同型とは限らない。

*1:このとき $F$ を $G$ の左随伴、 $G$ を $F$ の右随伴と呼ぶ。

*2: 組 $(A∈V,m\colon A⊗_VA→A,u\colon 1_V→A)$ で、 $m∘(m⊗A)=m∘(A⊗m),m∘(u⊗A)=A=m∘(A⊗u)$ を満たすもの。mをAの乗法、uをAの単位と呼び、これらが明らかな時には(A,m,u)を単にAと書く。

*3: $V$ の射であって、モノイド対象の乗法と単位を保存するもの。

*4: 対象は $V$ 豊穣圏 $C$ と $V$ 関手 $ω_C\colon C→V$ の組 $(C,ω_C)$ であり、射は $V$ 関手 $F\colon C→D$ で $ω_C=ω_D∘F$ を満たすものであるとする。

*5: https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2021/02/01/095156

*6: $V$ におけるモノイド対象 $A$ の上の加群対象、或いは単に $A$ -加群とは、対象 $X∈V$ と構造射と呼ばれる射 $ρ_A\colon A⊗X→X$ の組 $(X,ρ_A)$ であり、特に $ρ_X∘(m⊗X)=ρ_X∘(A⊗ρ_X)$ と $ρ_X∘(u⊗X) =X$ を満たすもののことである。また、 $A$ 加群準同型射とは $V$ の射 $f\colon X→Y$ であり、 $f∘ρ_X=ρ_Y∘f$ を満たすもののことである。加群と加群準同型は圏を成し、特に $V$ が完備であるから( $A-V≅Func(\mathbb{B}A,V)$ だから) $V$ 豊穣圏にもなる。

*7: $A-V\ni (X,ρ_X)\mapsto X∈V$ によって与えられる(つまり加群の構造射を忘れる) $V$ 関手 $U_A\colon A-V→V$ のことである。淡中の補題から、 $U_A≅Hom_{A-V}(A,-)$ と定義してもよい。

*8:加群の構造射による定義とモノイド準同型による定義の同値性についてはメモ7 (https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2021/03/26/014319)においても論じられている。

*9: https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2020/09/22/234153 と同様の議論を一般の豊穣圏について行えばよい。

*10: 少し詳細に見ると、 $EndU_{Endω_C}≅Endω_C$ , $\{σ_X\}_{X∈Endω_C-V}=\{σ_{η_CX}\}_{X∈C}$ , $θ_A^*$ は同型などの事実から従う。

2021-03-26

メモ7(群環の上の加群と群の表現の対応)

3/8に考えたことのメモです。

以前書いた『淡中再構成(環上の加群)』という記事*1において、「何故群環/多元環/リー環の表現はその上の加群を考えるのか」という問いを掲げ、その答えとして「環上の加群の淡中双対があるから」を提示しました。
しかし、「群の表現と群環の上の加群、或いはリー環の表現と普遍包絡環の上の加群は何故対応するのか」という点については説明できていませんでした。今回の記事ではこれを説明します。

$V$ をモノイダル閉圏とし、その上のモノイド対象の成す圏を $MonV$ とする。
また、 $C$ を圏とし、 $X$ をその対象とする。

[補題]
モノイダル閉圏 $V$ の対象 $A,M$ を取り、特に $A$ をモノイド対象とする。
このとき、次の2つは同値である:
(1) 射 $ρ\colon A⊗M→M$ があり、 $(M,ρ)$ は $A$ -加群となる。
(2) 射 $f\colon A→Hom_V(M,M)=EndM$ があり、これがモノイド準同型である。

[証明]
テンソルホム随伴( $-⊗X\dashv Hom(X,-)$ )の
単位を $ev^X\colon Hom(X,-)⊗X⇒Id_V$
余単位を $coev^X\colon Id_V⇒Hom(X,-⊗X)$ とする。
(1)⇒(2)は $f=Hom(M,ρ)\circ coev^M_A$ とし
(2)⇒(1)は $ρ=ev^M_M\circ (f⊗M)$ とすればよい。
これは噛み砕いて言えば $f(a)=ρ(a,-)$ とするのと同じである。 ■

この補題によって、加群の構造射と(適当な)モノイド準同型は等価であることがわかった。

さて、関手 $U\colon MonV→C$ があり、これが左随伴 $F\colon C→MonV$ を持つとする。

対象 $X∈C$ を取れ。
$M$ を $F(X)$ 上の加群とすると、 $M$ は構造射(に対応するモノイド準同型) $F(X)→EndM$ in $MonV$ を備える。
ここで、随伴があるから
$Hom_{MonV}(F(X),End(M) )≅Hom_C(X,U(End(M) ) )$ が成り立つので、
これは射 $X→U(End(M) )$ in $C$ に対応する。

(例1)
$C$ を群の圏 $Grp$ 、 $V$ をベクトル空間の圏 $Vect$ とせよ。 $MonV$ は多元環の圏 $Alg$ となる。
このとき、 $U\colon Alg→Grp$ は多元環の乗法群(単元群)を取る操作、 $F\colon Grp→Alg$ は群環を取る操作で与えられる。
上の議論から、群環上の加群 $F(X)⊗M→M$ と群の表現 $X→単元群(自己準同型モノイド(M) )=自己同型群(M)=GL(M)$ が対応することがわかる。

(例2)
$C$ をリー環の圏 $Lie$ 、 $V=Vect$ とせよ。
$U\colon Alg→Lie$ は多元環からリー環を標準的に作る操作、 $F\colon Lie→Alg$ は普遍包絡環を取る操作で与えられる。
上の議論から、リー環の普遍包絡環の上の加群とリー環の表現が対応することがわかる。

(例3)
$C$ を(有限)集合の圏 $Set$ 、 $V$ を(有限次元)k-ベクトル空間の圏 $Vect_k$ とせよ。
$U\colon Alg_k→Set$ は忘却、 $F\colon Set→Alg_k$ は非可換多項式環(自由多元環)を取る操作*2で与えられる。
上の議論から、多項式環 $F(X)=k [ X ]$ 上の加群と写像 $X→EndM=M_n(k)$ が対応することがわかる。

*1: https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2020/09/22/234153

*2:或いは、集合から自由モノイドを作りそのモノイド環を取る操作、自由加群を作りそのテンソル代数を取る操作と言ってもいい

2021-02-21

メモ6(中心のモノイド性)

2月半ばに考えて2.20に解決した問題のメモ・解説です。
問題は「モノイダル圏のモノイド対象の中心はまたモノイド対象となるか？なるなら可換なのか？」です。
ネタバレしておくと、肯定的に解決できました。

以下 $V$ を(完備な)モノイダル圏とし、 $A$ をそのモノイド対象とする。

$Z∈V$ が以下を満たすとき、これを $A$ の中心と呼び $Z(A)$ と表すのであった。*1:
① $V$ の射 $i\colon Z→A$ がある。
② $i$ は任意の $a∈A,z∈Z$ に対して $a*i(z)=i(z)*a$ を満たす。*2
③ $X∈V$ と射 $f\colon X→A$ があり、これらが②を満たすとき、射 $φ\colon X→Z$ が一意に存在して $iφ=f$ を満たす。

また、この中心 $Z(A)$ は $Z(A)=∫_{*∈\mathbb{B}A}Hom_{\mathbb{B}A}(*,*)$ としても構成できるのであった。
ここに $\mathbb{B}A$ とは $A$ のdeloopingと呼ばれる $V$ -豊穣圏であり、
・対象は1つのみ(であり $*$ と表される)
・射集合は $A$ であり、射の合成はモノイドの乗法で定める
と定義される。

さらに「中心」は $V$ が完備ならいつでも存在するのだから、結局「完備モノイダル圏 $V$ のモノイド対象 $A$ に対してその中心 $Z(A)$ が存在してこれは $V$ の対象であり $∫_{*\in \mathbb{B}A}\mathbb{B}A(*,*)$ として構成される」ということが言える。

ここまではメモ2の復習であるが、ここからメモ3の内容を混じえることで主題の結果を得る。

メモ3*3に拠れば、
$V$ -豊穣圏 $C$ の対象 $X$ に対して
$End_C(X)$ は $V$ のモノイド対象になるのであった。
ここで、 $End_{[\mathbb{B}A,\mathbb{B}A]}(Id_{\mathbb{B}A})$ を考えると、
これは $∫_{*\in \mathbb{B}A}\mathbb{B}A(*,*)$ となり、
結局 $Z(A)$ に一致し、また $V$ のモノイド対象でなることもわかる。
また、中心の可換性から中心は可換モノイド対象になることもわかる。

例1)
環の中心は環であり、特に可換環である。
中心に備わっている射 $i$ は大体包含と思えるから、環の中心は可換な部分環になるとも言える。

例2)
モノイダル圏の中心はモノイダル圏であり、特に $V$ がBraidedであればBraided モノイダル圏になる。

*1: https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2021/01/31/232549 を見よ

*2: これはちょっとInformalで、より正確にはtwist $t$ に対して[tex:m_A(id_A⊗i)=m_A(t(id_A⊗i) )などと書くべきである。

*3: https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2021/02/01/095156 を見よ。

2021-02-11

メモ5(単位元の普遍性)

メモです。
2020年の年末くらいに考えていた「淡中の補題の単位元の普遍性を用いた別証明」の解説です。

[定理](米田の補題)
$C$ を局所小圏、 $F\colon C→Set$ を関手、 $a∈C$ を対象とせよ。
このとき、集合としての同型
$Hom_{[C,Set] }(Hom_C(a,-),F)≅F(a)$ がある。

[略証]
この同型は $θ\mapsto θ_a(id_a)$ によって与えられ、
これの逆は $x\mapsto Ψ^x$ によって与えられる。
ただし、 $f\colon a→b$ に対して $Ψ^x_b(f)=Ff(x)$ とする。

[補題](表現対象の普遍性)
関手 $F\colon C→Set$ が $A∈C$ で表現可能
( $F≅Hom_C(A,-)$ )
⇔
$F(A)$ の元 $u$ があって、
任意の $X∈C,x∈F(X)$ に対して
$(Fx')(u)=x$ となる $x'\colon A→X$ が一意的に存在する。(☆)

[証明]
米田の補題より、 $u∈F(A)$ を取って
$Ψ^u$ が同型⇔(☆)
を示せばよい。

$Ψ^u$ は自然変換 $Hom_C,(A,-)⇒F$ であった。
故に、
$Ψ^u$ が同型
⇔ $Ψ^u$ の全ての成分が同型
⇔任意の対象 $X∈C$ に対して $Ψ^u_X$ が同型
となる。
$Ψ^u_X\colon Hom_C(A,X)→F(X)$ だから、
これが同型であること
⇔ $Ψ^u_X$ が一対一対応を与える
⇔各 $x∈F(X)$ に対して $x'\colon A→X$ が定まり、 $Ψ^u_X(x')=x$ となる
となる。
$Ψ^u_X(x')=(Fx')(u)$ なので、これは(☆)と同値である。 ■

さて、モノイド $M$ に対する淡中の補題とは以下の主張であった :
[定理](モノイド作用付集合の淡中の補題)
忘却関手 $F\colon M-Set→Set$ は正則加群 $M$ で表現可能である。

これは先の補題を用いれば次のように言い換えられる :
[命題]
(集合としての) $M$ の元 $u∈M$ があり、
任意の $M$ -集合 $X$ と(集合としての) $X$ の元 $x∈X$ に対して
$(Fx')(u)=x$ となる $M$ -準同型 $x'\colon M→X$ が存在する。(☆)

これはより簡潔に書けば
[命題]
$M$ をモノイドとする。
このとき、任意の $M$ -集合 $X$ のその元 $x∈X$ に対して
$x'(u)=x$ となる $M$ -準同型 $x'\colon M→X$ が存在する。
となる。
これは実際に成り立ち、 $u$ を $M$ の単位元とし、 $x'=ρ(-,x)$ とすればよい。
このとき $x'$ が $M$ -準同型であることと一意的であることは自明であるものとする。

また、この事実は以下のようにも表現(expression)できるだろう :

モノイド $M$ の単位元 $u$ (或いは単位元を取る射 $u\colon 1→M$ )は次の意味で普遍的である:
どんな $M$ -加群 $X$ とその元 $x$ (或いは元として $x$ を取る射 $x\colon 1→X$ )に対しても、射 $φ\colon M→X$ が一意的に存在し、 $φu=x$ を満たす。
なお、この $φ$ は $ρ_X(-,x)$ で与えられる。

これはモノイドの単位元が或る意味で"普遍的"である(普遍性を持つ)ことを言っていると考えられる。

つまり、淡中の補題とは、見方を変えれば"単位元の普遍性"から従う定理であったのだと言えよう。

2021-02-07

メモ4(カルテシアン圏と双対対象)

メモです。
2021.02初旬に考察した「剛モノイダルなカルテシアン圏はどのようなものが存在するか」という問に対する答えです。

$C$ をカルテシアンモノイダル圏*1とし、さらに剛モノイダル圏であるとする。
対象 $A∈C$ の双対対象を $A^*$ と表すことにする。

よく知られた定理*2「剛ならば閉」から、 $-×A^*$ と $Hom(A,-)$ は(自然同型を除いて)一致する。
したがって、特に $1×A^*≅A^*≅Hom(A,1)≅1$ が成り立つ。
つまり、どんな対象もその双対対象は終対象である。

さて、 $A∈C$ の評価射 $e_A\colon A^*×A→1$ と余評価射 $c_A\colon 1→A×A^*$ を考える。
評価射は射 $A→1$ と同じであり、これは $1$ が終対象であることから生える唯一の射である。
余評価射は射 $1→A$ と同じであり、これは同型 $Hom(1,A)≅A$ *3を通じて $A$ の"元"と対応する。

これらを念頭に置いた上で三角等式を見てみよう。
三角等式は
① $(id_A×e_A)(c_A×id_A)=id_A$
② $(e_A×id_{A^*})(id_{A^*}×c_A)=id_{A^*}$
である。

ここに元 $a∈A$ を代入して①がどのような条件であるのか確かめたいところだが、一般の圏の対象には元があるとは限らないので、元 $a∈A$ の代わりに射 $a\colon 1→A$ を取り、これを"元"と看做すこととし、これを①に合成する。
②については射をそのまま取れるから、それを代入することにする。

すなわち、 $a\colon 1→A,f\colon A→1$ として
①' $(id_A×e_A)(c_A×id_A)(id_1×a)=id_A(a)$
②' $(e_A×id_{A^*})(id_{A^*}×c_A)(f×id_1)=id_{A^*}(f)$
を考察する。

①'は $(f×g)(f'×g')=(ff')×(gg')$ を用いれば
$c_A×e_A(a)=a$ と書ける。
$e_A$ は唯一の射であったから無視すると、
これは「任意の対象 $A∈C$ に対して"元" $c∈A$ が存在して、任意の元 $a∈A$ に対して $c=a$ である」と言っていることになる。
つまり $A=\{c \}=1$ ということを言っている。
②'も同様に
$e_A(f)×c_A=f$ と書ける。
これについては要するに $A^*=1$ ということを言っており、これは既に見た通りである。
$A=1$ なのだから、これは $A^*=Hom(A,1)≅Hom(1,1)≅1=\{id_1\}$ ということを言っている。

以上のことから、剛モノイダルなカルテシアンモノイダル圏は単位圏 $1$ *4しか有り得ないということがわかる。

*1:有限直積を持ち、それをモノイダル積とするモノイダル圏

*2: https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2020/05/31/063027 を見よ。

*3:これはモノイダル閉圏なら成り立つ同型である。

*4:対象は $1$ のみで射は $id_1$ のみの圏。これは $Cat$ の終対象(したがって単位対象)でもある。

2021-02-01

メモ3(自己準同型モノイド)

メモです。
2021.1.27に考察した「自己準同型を集めるとモノイドになるが、これは豊穣圏でも成立するか？」という問題に対する答えをまとめておきます。

$V$ をモノイダル圏、 $C$ を $V$ -豊穣圏とせよ。
$V$ -豊穣圏 $C$ には、
Hom集合 $Hom_C(a,b)$ にあたるものとして $C(a,b)∈V$ 、
射の合成にあたるものとして $m_{abc}\colon C(b,c)⊗_VC(a,b)→C(a,c)$ 、
恒等射(を取ってくる射)にあたるものとして $j_a\colon 1_V→C(a,a)$
が定まっており、これらは結合律と単位律を満たすのであった。
このことから以下の定理がわかる :

[定理]
$V$ -豊穣圏 $C$ の対象 $X$ について、
$End_C(X)=C(X,X)$ は $V$ のモノイド対象になる。
なお、乗法は $m_{XXX}\colon C(X,X)⊗_VC(X,X)→C(X,X)$ で与えられ、
単位は $j_X\colon 1_V→C(X,X)$ で与えられる。

例1)
集合の圏 $Set$ を考えよ。
これはモノイダル閉だから自己豊穣、したがって $Set$ は $Set$ -豊穣圏である。
故に、集合 $X$ の自己写像全体 $End(X)$ を考えると、これは合成を乗法としてモノイドになる。

例2)
アーベル群の圏 $Ab$ を考えよ。
これはモノイダル閉だから、 $Ab$ は $Ab$ -豊穣圏である。
故に、アーベル群 $M$ の自己準同型環 $End(M)$ は単位的環となる。
これと全く同じことが $R$ -加群の圏に於いても言える。

例3)
$V$ を完備かつモノイダル閉であるとし、 $V$ -豊穣圏 $C,D$ を取れ。
このとき関手圏 $[C,D]$ は $V$ -豊穣圏である。
$V$ -関手 $F\colon C→D$ を取り、 $End(F)=∫_{c∈C}D(Fc,Fc)$ を考えると、これは $V$ のモノイド対象である。
特に、前層 $F\colon C→V$ に対する $End(F)$ は $V$ のモノイド対象となる。

(Remark!)
この例に於いて $V=Ab$ とすると、『淡中再構成(環上の加群)』 https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2020/09/22/234153 と内容が一致する。

例4)
$V$ を完備かつモノイダル閉とし、 $V$ -豊穣圏の成す圏 $V-Cat$ を考えよ。
このとき $V-Cat$ はモノイダル閉であり、したがって $V-Cat$ -豊穣圏となる。
$V$ -豊穣圏 $C$ に対して $End(C)$ は $V-Cat$ のモノイド対象、つまり $V$ -豊穣モノイダル圏になる。
これは $V=Set$ とすれば、「自己関手の圏はモノイダル圏になる」と言っているのと同じである。

【追記】

以上では｢自己準同型はモノイドを成す｣を示したが、この逆｢モノイドは自己準同型から与えられる｣も示すことができる。
すなわち、 $V$ をモノイダル圏とし $A∈V$ をそのモノイド対象とせよ。このとき、次のような $V$ 豊穣圏 $\mathbb{B}A$ を構成することができる*1 :
対象は唯一つであり(これを $*_A$ と書く)、射集合は $\mathbb{B}A(*_A,*_A)≅A$ によって与えられる。射の合成がモノイド対象の乗法に、恒等射(を取る射)がモノイド対象の単位に対応している。
この状況に於いて、定義から明らかにモノイド対象 $A$ は $V$ 豊穣圏 $\mathbb{B}A$ 内の自己準同型モノイドとして表されている。
つまり、｢全てのモノイド対象は自己準同型モノイドとして表される｣ということが言える。

また、この議論によって｢ $V$ のモノイド対象と一点*2 $V$ 豊穣圏は等価である｣ということも言える。
例えば、一点圏はモノイドであり、逆もまた然り。

*1: このようにして構成された $\mathbb{B}A$ を $A$ のdeloopingと呼ぶことがある。

*2:対象が唯一つの圏を一点圏と呼ぶ。

2021-01-31

メモ2(中心の普遍性)

メモです。
2021.1.08に発見した「中心の普遍性」についてメモしておきます。

以下 $V$ を(対称閉)モノイダル圏とし、 $A$ をそのモノイド対象とする。
$Z∈V$ が以下を満たすとき、これを $A$ の中心と呼び $Z(A)$ と表す。:
① $V$ の射 $i\colon Z→A$ がある。
② $i$ は任意の $a∈A,z∈Z$ に対して $a*i(z)=i(z)*a$ を満たす。*1
③ $X∈V$ と射 $f\colon X→A$ があり、これらが②を満たすとき、射 $φ\colon X→Z$ が一意に存在して $iφ=f$ を満たす。

②を中心の可換性と呼び、③を中心の普遍性と呼ぶ。
中心は普遍性を持つから、存在すれば同型を除いて一意である。

例1)
$R$ を単位的環とする。すなわち、モノイダル圏 $(Ab,⊗_Z,Z)$ のモノイド対象とする。
$Z(R)=\{z∈R\colon \forall r∈R,zr=rz\}$ とせよ。
これは環の中心と呼ばれるものであるが、可換性と普遍性を持つから先の「中心」と一致する。
つまり、環の中心は「中心」である。
「中心」はただのアーベル群として定まるから、これが $R$ の部分環となるのは(少なくとも筆者にとっては)非自明なことである。
【追記】
この問題は既に解決された。メモ6 https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2021/02/21/110954 を見よ。

この「中心」は、 $V$ が完備ならば必ず存在する。
[証明]
モノイド対象 $A$ のdeloopingを $BA$ とする。すなわち、 $BA$ は一点 $V$ -豊穣圏であり、 $Hom_{BA}(*,*)≅A$ が $V$ のモノイド対象として成り立つ。
「 $V$ が完備(かつ対称閉)モノイダルで $C$ が $V$ -豊穣圏なら、関手 $T\colon C^{op}⊗C→V$ に対してエンド $∫_{x∈C}T(x,x)$ が存在する」という定理を認めれば、エンド $∫_{*∈BA}Hom_{BA}(*,*)$ は必ず存在する。
これは定義から $A$ に対する可換性と普遍性を持つから $A$ の「中心」である。 ■