淡中再構成(モノイド作用) - 散れども切れぬ備忘録

淡中双対の簡単な例(モノイド作用を使った例)を紹介します。

※この記事では米田の補題(『ベーシック圏論』第4章までの内容)は既知とします。

Terminology
Lemma
Main Theorem

Terminology

以前『有限群の淡中再構成』( https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2019/10/17/023930 )という記事を書きました。これは(有限)群の表現による淡中双対でしたが、今回は作用による淡中双対を見るので、内容が少しズレます。その分直感的で易しくなると思います。

まずは幾つかの用語を定義します。分からない単語等があればncatlabを参照すると良いでしょう。

モノイドの圏

集合の成す圏を $Set$ と表します。
$Set$ は有限極限を持つのでカルテシアンモノイダル圏です。したがって、モノイド対象が定義できます:
$(M,μ^M,u^M)$ がモノイド対象であるとは
$M$ は集合、 $μ^M\colon M×M→M$ , $u^M\colon 1→M$ は写像で、以下の図式を可換にすること:
f:id:zangiriontwitter:20200401194220j:plain

今回はモノイド対象を $Set$ の上で考えるので、モノイド対象を単にモノイドと呼びます。
また、 $(M,μ^M,u^M)$ を略して $M$ と書くことがあります。

モノイドは乗法と単位を持つので、この2つを保つものとしてモノイド射を定義できます:
$f\colon M→N$ がモノイド射であるとは
･ $(M,μ^M,u^M),(N,μ^N,u^N)$ はモノイドで、 $f\colon M→M$ は写像
･ $f(μ^M)=μ^N(f×f),f(u^M)=u^N$
の両方を満たすことです。

モノイドを対象としてモノイド射を射とすると圏を成すので、この圏を $Mon$ と表します。

今まで大仰にモノイドとその射を定義しましたが、所謂普通のモノイド･モノイド準同型を圏論の言葉に訳したに過ぎないので、よくわからなければそちらで認識して頂いて構いません。

モノイド作用の圏

モノイドが定義できたので、次はモノイドの集合への作用を定義します。

$(X,ρ^X)$ が $M$ -集合であるとは
･ $X$ は集合で、 $ρ^X\colon M×X→X$ は写像
･加群律を満たす、すなわち、次の図式を可換にする:
f:id:zangiriontwitter:20200401194244j:plain
の両方を満たすことです。

M-集合はMからの作用を持つので、この作用を保つ写像としてM-集合の射が定義できます:
$f\colon (X,ρ^X)→(Y,ρ^Y)$ がM-集合の射であるとは
･ $f\colon X→Y$ は写像
･ $f(ρ^X)=ρ^Y(id_X×f)$ が成り立つ
の両方を満たすことです。

対象をM-集合、射をM-集合の射とすると圏を成すので、この圏を $M-set$ と表します。

特別な作用として正則作用と呼ばれるものがあります:
M-集合として $(M,ℓ)$ を取り、 $ℓ\colon M×M→M$ をMの乗法 $μ^M$ で定めるものです。

前層圏と米田の補題

圏 $C$ に対して、関手圏 $Func(C,Set)=[C,Set]=Set^C$ は圏になります。これを圏 $C$ の前層圏と呼び、 $\hat{C}$ と表します。

前層圏の元 $F\colon C→Set$ が $C$ の対象 $X$ を用いて $F≅Hom_C(X,-)$ と表されるとき、 $F$ は表現可能であると言います。

圏 $C$ の対象 $X$ を $Hom_C(X,-)$ に対応させる関手を米田埋込みと言い、この対応から定まる関手を $Y\colon C→\hat{C}$ と表します。

米田埋込みについて、以下の定理が成り立ちます:
[定理](米田の補題)
$Hom_{\hat{C}}(Ya,Yb)≅Hom_C(a,b)$
なお、この同型は対応 $θ⟼θ_a(id_a),Y_f↤f$ で与えられる。

Lemma

忘却関手 $F\colon M-set→Set$ を( $M-set$ の)ファイバーと呼びます。ファイバーについて以下の定理(補題)が成り立ちます。

[補題]
ファイバー $F$ は表現可能です。
特に、 $F≅Hom_{M-set}( (M,ℓ),-)$ です。
[証明]
以後 $Hom_{M-set}( (M,ℓ),-)$ を略して $Hom(M,-)$ と書くことにします。
① $Hom(M,X)≅X$ ② $Hom(M,f)=f$ を示せばよいです。
①)
同型を与える写像 $φ^X\colon Hom(M,X)→X$ を構成すればよいです。
実際、 $φ^X(f)=f(e)(=f(u(＊) ) )$ とするとこれは全単射になります*1 *2。
②)
$Hom(M,f)=f∘-$ ですが、 $g∈Hom(M,X)$ と $x=g(e)∈X$ が対応することを考えれば、 $fg↔f(g(e) )$ という対応により $f=Hom(M,f)$ となります。 ■

Main Theorem

ファイバー $F$ の自己自然変換の成すモノイド*3 $Hom_{\hat{M-set}}(F,F)=Nat(F,F)$ を $EndF$ と表します。
この $EndF$ について、以下の定理が成り立ちます:
[定理1]
$EndF$ と $M$ は集合として自然に同型。
[証明]
先の補題と米田の補題から
$EndF$
$=Nat(F,F)$
$=Nat(Hom(M,-),Hom(M,-) )$
$≅Hom(M,M)$
$≅M$ ■

さらに、モノイドとしても同型であることがわかります:
[定理2]
$EndF$ と $M$ はモノイドとして同型。
[証明]
まず $EndF$ に自然に積が入ってモノイドになることを示します。
補題の証明の①から $M≅Hom(M,M)$ であり、この同型が $L\colon m⟼μ^M(m,-)=m・-$ で与えられることが分かります。
また、定理1の証明と米田の補題から $Hom(M,M)≅EndF$ であり、この同型が $Y\colon f⟼Y_f$ で与えられることが分かります。
この2つの対応を合成して $Y_L\colon m⟼Y_{m・-}$ を考えると、これが積を与えモノイドを成すことが分かります。
またこの $Y_L$ モノイド準同型であることもすぐにわかり、したがってモノイド同型を与えることもわかります。■

これはつまり、
モノイドについて調べたい時はそれが作用する集合(言わば「表現」)を見れば充分であり、またそこから得られた性質はファイバーとその圏論的性質から復元できるということです。
このモノイド～表現の対応のことを淡中双対といいます。今回の場合は「モノイドとモノイド作用付集合は淡中双対」という言い方ができます。
ふつう淡中双対と言うと「局所コンパクト群とその表現は淡中双対」というのを指すことが多いですが、今回のような身近で簡単な例にも淡中双対が現れます。

少し踏み込んで、次の系を紹介します。

[系]
定理2において、特に $M$ が群 $G$ であるとき、 $G≅EndF=AutF$ が成り立ちます。