オイラーマスケローニ定数は存在するか？

今回は、無理数だろうと予測されているにもかかわらず、未だ無理数であることが証明されていない不思議な定数、「オイラーマスケローニ定数(通称オイラー定数)」が存在することを示します。
前提知識は数Ⅲ(商の微分、関数の極限etc…)です。

用語の説明
補題1
補題2
定理(オイラーマスケローニ定数は存在する)

用語の説明

補足程度に用語を説明しますね。

まずは「補題」です。
ある定理を示したいときに、”先に示しておくと証明が楽になる定理” ”証明を助ける定理”のことを「補題(ﾎﾀﾞｲ)」といいます。
今回は二つの補題を示します。

次に「公理」です。
数学に関する議論をする上で、最も根本的なルールのことです。(例えば、「何も要素に持たない集合(空集合)が存在する」など)
言わば、「証明せずに用いてよい定理」「決まりごと」のことです。
今回は「下界を持つ単調減少列は収束する」ということを公理の一つとします。

※{ $g_n$ }が下界を持つ:ある数Gがあって、全てのnに対して $g_n\geqq G$ となる。
※{ $g_n$ }は単調減少列である:全てのnに対して $g_n\leqq g_{n-1}$ となる。

※※以下、nは自然数、xは実数であるとします。

補題1

補題1: $n\geqq 2\Rightarrow\frac{1}{n}+\log(1-\frac{1}{n})＜0$

[証明]
$x＞1$ として $\frac{1}{x}+\log(1-\frac{1}{x})＜0$ を示す。
まず、
\begin{align*}
\displaystyle
\frac{d}{dx}(\log(1-\frac{1}{x}))&=\frac{1}{x^2}\frac{1}{1-\frac{1}{x}}\\ &=\frac{1}{x(x-1)}
\end{align*}
である。
次に、 $f(x)=\frac{1}{x}-\log(1-\frac{1}{x})$ とすると、
\begin{align*}
\displaystyle
\frac{d}{dx}f(x)&=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x(x-1)}\\ &=-\frac{1}{x^2}+\frac{x}{x^2(x-1)}\\ &=\frac{1}{x^2(x-1)}＞0
\end{align*}
なので、f(x)は単調増加である。
また、 $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0$ なので、f(x)＜0である。
したがって、 $\frac{1}{x}+\log(1-\frac{1}{x})＜0$ となる。 [終]

補題2

補題2: $n\geqq 2\Rightarrow\frac{1}{n}+\log(1-\frac{1}{n})＞-\frac{1}{n^2}$

[証明]
$x\geqq 2$ として $\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\log(1-\frac{1}{x})＞0$ を示す。
$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\log(1-\frac{1}{x})$ とすると、
\begin{align*}
\displaystyle
\frac{d}{dx}f(x)&=-\frac{1}{x^2}-2\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x(x-1)}\\ &=-\frac{x}{x^3}-\frac{2}{x^3}+\frac{x^2}{x^3(x-1)}\\ &=\frac{2-x}{x^3(x-1)}\leqq 0
\end{align*}
となるが、 $\frac{d}{dx} f(x)=0$ となるのはx=2のときのみで、
また
\begin{align*}
\displaystyle
f(2)&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\log(1-\frac{1}{2})\\ &=\frac{3}{4}+\log\frac{1}{2}\\ &=\log\frac{e^{\frac{3}{4}}}{2}\\ &＞\log\frac{1+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\frac{9}{16}}{2}\\ &=\log\frac{\frac{32+24+9}{32}}{2}\\ &＞\log 1=0
\end{align*}
となり、f(2)＞0となるので、
x≧2ではf(x)は単調減少である(としてよい)。
また、 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0$ なので、f(x)＞0である。
したがって、 $\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\log(1-\frac{1}{x})＞0$ となる。 [終]