有限群の淡中再構成(Tannaka Reconstruction)

2,3回に分けて、「有限群をその表現の成す圏から復元する」という淡中再構成(Tannaka Reconstruction)の一例を紹介します。初回となるこの記事では、主定理の主張とその証明をするための前提知識の紹介をします。

この記事を読むために必要な知識は群論と線形代数及び圏論の初歩です。圏論の知識が無い方には『ベーシック圏論』の第一章や壱大整域を読むことをお勧めします。

主定理
前提知識
- ①有限群の表現論
  - 蛇足①
  - 蛇足②
- ②テンソル自然変換

主定理

このシリーズのゴールとなる定理は次の通りです:
[定理]
有限群Gに対して適当な関手 $F$ とその適当な自然自己同型群 $\mathrm{Aut}^⊗︎(F)$ があり、 $\mathrm{Aut}^⊗︎(F)≅G$ となる。

「適当な」については追々説明していきます。
また、証明はシリーズの最後に行います。

前提知識

先述した知識に加えて、表現論と「適当な」の定義が必要になるので、それらを必要最低限の量だけさらっておきます。

①有限群の表現論

有限群 $G$ の有限次元複素表現とは、
有限次元複素ベクトル空間 $V$ と
群準同型 $φ:G→\mathrm{GL}(V)=\mathrm{Aut}(V)$ の組 $(V,φ)$ のことです。
以下、単に表現,ベクトル空間と言えば有限次元複素表現,有限次元複素ベクトル空間を指すものとします。
ベクトル空間の成す圏を $\mathrm{Vect}_ℂ$ と書くことにすると、有限群 $G$ の表現とは関手 $G→\mathrm{Vect}_ℂ$ のことだと思うこともできます。

表現の例を見てみましょう。
①自明な表現 $(ℂ,ε)$
$∀g∈G,ε(g)=1∈ℂ^×=\mathrm{GL}(ℂ)$ とすると、これは $G$ の表現になります。
②(左)正則表現 $(ℂG,ℓ)$
与えられた有限群 $G$ の元 $g∈G$ をただのシンボルとみなして、 $G$ を生成系(基底の集合)とする自由ベクトル空間を作り、これを $ℂG$ と表します。
$ℂG$ には畳み込み積
$(\sum_{g∈G}c_g･g)×(\sum_{g'∈G}c'_{g'}･g')$
$=\sum_{g∈G}\sum_{g'∈G}(c_g･c'_{g'})･(g･g')$
$=\sum_{h∈G}\sum_{k∈G}(c_{hk^{-1}}･c_k)･h$
によって積が入り、和と合わせて環、特に代数(多元環)となります。
このことから $ℂG$ をGの群環あるいは群代数といいます。
$∀g∈G,ℓ(g)=g･-;∀x∈ℂG,g･-(x)=gx$ とするとこれは表現になります。

よければ今挙げた例が実際に表現になることを確かめてみてください。

さて、二つの表現 $(V,φ),(W,ψ)$ が与えられた時、そのテンソル積 $(V⊗︎W,φ⊗︎ψ)$ を以下のようにして構成できます:
$V⊗︎W$ をベクトル空間 $V,W$ のテンソル積とし、
$∀g∈G,\sum_{i,j}v_i⊗︎w_j∈V⊗︎W,(φ⊗︎ψ)(g)(∑v_i⊗︎w_i)=\sum_{i,j}(φ(g)(v_i))⊗︎(ψ(g)(w_j))$ とする。
表現のテンソル積もまた表現になります。

また、表現の間の射も定義することができます。
表現の射 $f:(V,φ)→(W,ψ)$ とは,線型写像 $f:V→W$ であって、 $∀g∈G,v∈V,f(φ(g)(v))=ψ(g)(f(v))$ を満たすもの、つまり、下の図式を可換にするものです:
$V-φ(g)→V$
$↓f\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ↓f$
$W-ψ(g)→W$

表現の射の例を見てみましょう。
①余単位 $ε:ℂG→ℂ$
$ε(\sum_{g∈G}c_gg)=\sum_{g∈G}c_g$ とすると、これは表現の射になります。
この射を群代数 $ℂG$ の余単位といいます。
②余積 $Δ:ℂG→ℂG⊗︎ℂG$
$Δ(\sum_{g∈G}c_gg)=\sum_{g∈G}c_g(g⊗︎g)$ とすると、これは表現の射になります。
この射を群代数 $ℂG$ の余積といいます。

この射により、有限群Gの表現は圏を成すので、これを $\mathrm{Rep}_G$ と表します。

蛇足①

環R上の加群が成す圏を $\mathrm{Mod}_R$ と表すことにすると、
$\mathrm{Vect}_ℂ=\mathrm{Mod}_ℂ$
$\mathrm{Rep}_G=\mathrm{Mod}_{ℂG}$
と書けます。
つまり、加群に対して成り立つ事柄はベクトル空間や表現に対しても成り立ちます。

蛇足②

群代数 $ℂG$ は余積 $Δ$ ,余単位 $ε$ によって余代数、すなわち双代数になります。
さらに対蹠 $S$ を $S(g)=g^{-1}$ で定めると双代数 $ℂG$ はHopf代数にもなります。
より一般に、体 $K$ 上の群代数 $KG$ は余可換なHopf代数になります。
詳しくは阿部『ホップ代数』またはMilnor,Moore『On the structure of Hopf algebras』を参照してください。

②テンソル自然変換

本来ならテンソル圏やテンソル関手の定義をするべきなのですが、ここでは本質的に必要無いので割愛します。その代わり、テンソル自然変換を定義します。

まず、忘却関手 $F:\mathrm{Rep}_G→\mathrm{Vect}_ℂ$ を考えましょう。
これは $F( (V,φ)⊗︎(W,ψ) )=F( (V,φ) )⊗︎F( (W,ψ) )$ を満たします。つまり、テンソル積を保存します。
これに倣って、テンソル積を保存する自然変換、特にテンソル積を保つ自然自己同型を以下のように定義します。
関手 $F$ のテンソル自然自己同型 $T$ とは、
自然同型 $T:F⇒F$ であって
$T_{(V,φ)⊗︎(W,ψ)}=T_{(V,φ)}⊗︎T_{(W,ψ)}$ を満たすものです。
関手 $F$ のテンソル自然自己同型は群を成すので、これを $\mathrm{Aut}^⊗︎(F)$ と表します。