多項式と超越数 - 散れども切れぬ備忘録

題名の通り、多項式に超越数を代入した値の超越性についての備忘録です。備忘録なので雑に書きますが御容赦下さい。

さて、本題ですが、二つの定理(一つのよく知られた定理とそのちょっとした拡張)を紹介します。

以下、単に多項式と言えば有理数係数の一変数多項式とします。

[定理1]
tを超越数、f(x)を次数が0でない多項式とすると、f(t)は超越数である。
[証明]
f(t)が代数的数であったと仮定する。このとき多項式g(x)が在ってg(f(t))=0となるが、gfは多項式なのでtが超越数であることに矛盾する。故に、云々□

[備考]
代数的数体は代数閉体であるから、多項式を代数的数係数としても差し支えない。

[定理2]
$f(x_1,...,x_n)∈Q[x_1,...,x_n$ で定数でない,tを超越数,k_1,...,k_nを各々0でない整数]とする。
このとき、 $T=f(t^{k_1},...,t^{k_n})$ とするとTは超越数である。
[証明]
充分大きな自然数mを取れ。
すると $t^mT=t^mf(t^{k_1},...,t^{k_n})=g(t)$ ,g(x)∈Q[x]となる。
このとき $T=\frac{g(t)}{t^m}$ である。
Tを代数的数としP(x)をその定義多項式とする。
すると $P(T)=P(\frac{g(t)}{t^m})=0$ となる。
充分大きな自然数m'を取れ。
すると $x^{m'}P(\frac{g(x)}{x^m})=P'(x)$ ,P'(x)∈Q[x]となる。
このときP'(t)=0となるが、これはtが超越数であったことに反する。故にTは超越数である。□